Cálculo Exemplos

$\frac{1}{x + 1} \cdot \frac{d y}{d x} = y + 2$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Resolva $\frac{d y}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Combine $\frac{1}{x + 1}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} = y + 2$

Etapa 1.1.2

Multiplique os dois lados por $x + 1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} (x + 1) = (y + 2) (x + 1)$

Etapa 1.1.3

Simplifique.

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Etapa 1.1.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.3.1.1

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 1.1.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x + 1} (x + 1) = (y + 2) (x + 1)$

Etapa 1.1.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = (y + 2) (x + 1)$

Etapa 1.1.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1.3.2.1

Simplifique $(y + 2) (x + 1)$ .

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Etapa 1.1.3.2.1.1

Expanda $(y + 2) (x + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.1.3.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d y}{d x} = y (x + 1) + 2 (x + 1)$

Etapa 1.1.3.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d y}{d x} = y x + y \cdot 1 + 2 (x + 1)$

Etapa 1.1.3.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d y}{d x} = y x + y \cdot 1 + 2 x + 2 \cdot 1$

Etapa 1.1.3.2.1.2

Simplifique os termos.

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Etapa 1.1.3.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.2.1.2.1.1

Multiplique $y$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y x + y + 2 x + 2 \cdot 1$

Etapa 1.1.3.2.1.2.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = y x + y + 2 x + 2$

Etapa 1.1.3.2.1.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.3.2.1.2.2.1

Reordene $y$ e $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x y + y + 2 x + 2$

Etapa 1.1.3.2.1.2.2.2

Mova $y$ .

$\frac{d y}{d x} = x y + 2 x + y + 2$

Etapa 1.2

Fatore.

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Etapa 1.2.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 1.2.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{d y}{d x} = (x y + 2 x) + y + 2$

Etapa 1.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{d y}{d x} = x (y + 2) + 1 (y + 2)$

Etapa 1.2.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $y + 2$ .

$\frac{d y}{d x} = (y + 2) (x + 1)$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y + 2}$ .

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 2} ((y + 2) (x + 1))$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $y + 2$ .

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 2} ((y + 2) (x + 1))$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y + 2} \frac{d y}{d x} = x + 1$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y + 2} d y = (x + 1) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y + 2} d y = \int x + 1 d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Deixe $u = y + 2$ . Depois, $d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = y + 2$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Etapa 2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 2$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Etapa 2.2.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Etapa 2.2.1.1.4

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.2.1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int x + 1 d x$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int x + 1 d x$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y + 2$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \int x + 1 d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \int x d x + \int d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int d x$

Etapa 2.3.3

Aplique a regra da constante.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + x + C_{3}$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + x + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y + 2 |) = \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y + 2 |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} + x + C}$

Etapa 3.2

Reescreva $\ln (| y + 2 |) = \frac{1}{2} x^{2} + x + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + x + C} = | y + 2 |$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $| y + 2 | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + x + C}$ .

$| y + 2 | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + x + C}$

Etapa 3.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$| y + 2 | = e^{\frac{x^{2}}{2} + x + C}$

Etapa 3.3.3

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y + 2 = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + x + C}$

Etapa 3.3.4

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + x + C} - 2$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Reescreva $e^{\frac{x^{2}}{2} + x + C}$ como $e^{\frac{x^{2}}{2} + x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + x} e^{C} - 2$

Etapa 4.2

Reordene $e^{\frac{x^{2}}{2} + x}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2} + x} - 2$

Etapa 4.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C e^{\frac{x^{2}}{2} + x} - 2$