Cálculo Exemplos

$(1 + 2 y) d x + (x - 4) d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $(1 + 2 y) d x$ dos dois lados da equação.

$(x - 4) d y = - (1 + 2 y) d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{(x - 4) (1 + 2 y)}$ .

$\frac{1}{(x - 4) (1 + 2 y)} (x - 4) d y = \frac{1}{(x - 4) (1 + 2 y)} (- (1 + 2 y)) d x$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $x - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{(x - 4) (1 + 2 y)} (x - 4) d y = \frac{1}{(x - 4) (1 + 2 y)} (- (1 + 2 y)) d x$

Etapa 3.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{1}{(x - 4) (1 + 2 y)} (- (1 + 2 y)) d x$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = - \frac{1}{(x - 4) (1 + 2 y)} (1 + 2 y) d x$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $1 + 2 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{(x - 4) (1 + 2 y)}$ para o numerador.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{- 1}{(x - 4) (1 + 2 y)} (1 + 2 y) d x$

Etapa 3.3.2

Fatore $1 + 2 y$ de $(x - 4) (1 + 2 y)$ .

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{- 1}{(1 + 2 y) (x - 4)} (1 + 2 y) d x$

Etapa 3.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{- 1}{(1 + 2 y) (x - 4)} (1 + 2 y) d x$

Etapa 3.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = \frac{- 1}{x - 4} d x$

Etapa 3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{1 + 2 y} d y = - \frac{1}{x - 4} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{1 + 2 y} d y = \int - \frac{1}{x - 4} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Deixe $u_{1} = 1 + 2 y$ . Depois, $d u_{1} = 2 d y$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Deixe $u_{1} = 1 + 2 y$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.1

Diferencie $1 + 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [1 + 2 y]$

Etapa 4.2.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + 2 y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [2 y]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [2 y]$

Etapa 4.2.1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [2 y]$

Etapa 4.2.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 4.2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Etapa 4.2.1.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$0 + 2$

Etapa 4.2.1.1.4

Some $0$ e $2$ .

$2$

Etapa 4.2.1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{1}{x - 4} d x$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Multiplique $\frac{1}{u_{1}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{1}{x - 4} d x$

Etapa 4.2.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{x - 4} d x$

Etapa 4.2.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{x - 4} d x$

Etapa 4.2.4

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x - 4} d x$

Etapa 4.2.5

Simplifique.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x - 4} d x$

Etapa 4.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $1 + 2 y$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x - 4} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x - 4} d x$

Etapa 4.3.2

Deixe $u_{2} = x - 4$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Deixe $u_{2} = x - 4$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Diferencie $x - 4$ .

$\frac{d}{d x} [x - 4]$

Etapa 4.3.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 4.3.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 4.3.2.1.4

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 4.3.2.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 4.3.2.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 4.3.3

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Etapa 4.3.4

Simplifique.

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Etapa 4.3.5

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x - 4$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) + C_{1} = - \ln (| x - 4 |) + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |) = - \ln (| x - 4 |) + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |)) = 2 (- \ln (| x - 4 |) + C)$

Etapa 5.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + 2 y |))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (| 1 + 2 y |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + 2 y |)}{2} = 2 (- \ln (| x - 4 |) + C)$

Etapa 5.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{\ln (| 1 + 2 y |)}{2} = 2 (- \ln (| x - 4 |) + C)$

Etapa 5.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 (- \ln (| x - 4 |) + C)$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Simplifique $2 (- \ln (| x - 4 |) + C)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| 1 + 2 y |) = 2 (- \ln (| x - 4 |)) + 2 C$

Etapa 5.2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\ln (| 1 + 2 y |) = - 2 \ln (| x - 4 |) + 2 C$

Etapa 5.3

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| 1 + 2 y |) + 2 \ln (| x - 4 |) = 2 C$

Etapa 5.4

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Simplifique $\ln (| 1 + 2 y |) + 2 \ln (| x - 4 |)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.1.1.1

Simplifique $2 \ln (| x - 4 |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\ln (| 1 + 2 y |) + \ln ({| x - 4 |}^{2}) = 2 C$

Etapa 5.4.1.1.2

Remova o valor absoluto em ${| x - 4 |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$\ln (| 1 + 2 y |) + \ln ({(x - 4)}^{2}) = 2 C$

Etapa 5.4.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2}) = 2 C$

Etapa 5.5

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2})} = e^{2 C}$

Etapa 5.6

Reescreva $\ln (| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2}) = 2 C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = | 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2}$

Etapa 5.7

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.1

Reescreva a equação como $| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2} = e^{2 C}$ .

$| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2} = e^{2 C}$

Etapa 5.7.2

Divida cada termo em $| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2} = e^{2 C}$ por ${(x - 4)}^{2}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.1

Divida cada termo em $| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2} = e^{2 C}$ por ${(x - 4)}^{2}$ .

$\frac{| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{2}} = \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 5.7.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.2.1

Cancele o fator comum de ${(x - 4)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| 1 + 2 y | {(x - 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{2}} = \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 5.7.2.2.1.2

Divida $| 1 + 2 y |$ por $1$ .

$| 1 + 2 y | = \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 5.7.3

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$1 + 2 y = \pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}}$

Etapa 5.7.4

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 y = \pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}} - 1$

Etapa 5.7.5

Divida cada termo em $2 y = \pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}} - 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.5.1

Divida cada termo em $2 y = \pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}} - 1$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Etapa 5.7.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.5.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Etapa 5.7.5.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}}}{2} + \frac{- 1}{2}$

Etapa 5.7.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.5.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{\pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}}}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 5.7.5.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\pm \frac{e^{2 C}}{{(x - 4)}^{2}} - 1}{2}$

Etapa 6

Agrupe os termos da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\pm \frac{C}{{(x - 4)}^{2}} - 1}{2}$

Etapa 6.2

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = \frac{C \frac{1}{{(x - 4)}^{2}} - 1}{2}$