Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = x^{5} + x^{6}$ , $y (1) = 2$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = (x^{5} + x^{6}) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int x^{5} + x^{6} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int x^{5} + x^{6} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \int x^{5} d x + \int x^{6} d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{5}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{6} x^{6} + C_{2} + \int x^{6} d x$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{6}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{6} x^{6} + C_{2} + \frac{1}{7} x^{7} + C_{3}$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

$y + C_{1} = \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{7} x^{7} + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{7} x^{7} + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $1$ por $x$ e $2$ por $y$ em $y = \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{7} x^{7} + K$ .

$2 = \frac{1}{6} \cdot 1^{6} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K = 2$ .

$\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K = 2$

Etapa 4.2

Simplifique $\frac{1}{6} \cdot 1^{6} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K$ .

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{6} \cdot 1 + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K = 2$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $\frac{1}{6}$ por $1$ .

$\frac{1}{6} + \frac{1}{7} \cdot 1^{7} + K = 2$

Etapa 4.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{6} + \frac{1}{7} \cdot 1 + K = 2$

Etapa 4.2.1.4

Multiplique $\frac{1}{7}$ por $1$ .

$\frac{1}{6} + \frac{1}{7} + K = 2$

Etapa 4.2.2

Para escrever $\frac{1}{6}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{7}{7}$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} + K = 2$

Etapa 4.2.3

Para escrever $\frac{1}{7}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{6}{6} + K = 2$

Etapa 4.2.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $42$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.2.4.1

Multiplique $\frac{1}{6}$ por $\frac{7}{7}$ .

$\frac{7}{6 \cdot 7} + \frac{1}{7} \cdot \frac{6}{6} + K = 2$

Etapa 4.2.4.2

Multiplique $6$ por $7$ .

$\frac{7}{42} + \frac{1}{7} \cdot \frac{6}{6} + K = 2$

Etapa 4.2.4.3

Multiplique $\frac{1}{7}$ por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{7}{42} + \frac{6}{7 \cdot 6} + K = 2$

Etapa 4.2.4.4

Multiplique $7$ por $6$ .

$\frac{7}{42} + \frac{6}{42} + K = 2$

Etapa 4.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{7 + 6}{42} + K = 2$

Etapa 4.2.6

Some $7$ e $6$ .

$\frac{13}{42} + K = 2$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.3.1

Subtraia $\frac{13}{42}$ dos dois lados da equação.

$K = 2 - \frac{13}{42}$

Etapa 4.3.2

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{42}{42}$ .

$K = 2 \cdot \frac{42}{42} - \frac{13}{42}$

Etapa 4.3.3

Combine $2$ e $\frac{42}{42}$ .

$K = \frac{2 \cdot 42}{42} - \frac{13}{42}$

Etapa 4.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$K = \frac{2 \cdot 42 - 13}{42}$

Etapa 4.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.5.1

Multiplique $2$ por $42$ .

$K = \frac{84 - 13}{42}$

Etapa 4.3.5.2

Subtraia $13$ de $84$ .

$K = \frac{71}{42}$

Etapa 5

Substitua $\frac{71}{42}$ por $K$ em $y = \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{7} x^{7} + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $\frac{71}{42}$ por $K$ .

$y = \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{7} x^{7} + \frac{71}{42}$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1

Combine $\frac{1}{6}$ e $x^{6}$ .

$y = \frac{x^{6}}{6} + \frac{1}{7} x^{7} + \frac{71}{42}$

Etapa 5.2.2

Combine $\frac{1}{7}$ e $x^{7}$ .

$y = \frac{x^{6}}{6} + \frac{x^{7}}{7} + \frac{71}{42}$