Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = - 8 x^{7} e^{- x^{8}}$ , $y (0) = 8$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = - 8 x^{7} e^{- x^{8}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int - 8 x^{7} e^{- x^{8}} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int - 8 x^{7} e^{- x^{8}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 8$ é constante com relação a $x$ , mova $- 8$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - 8 \int x^{7} e^{- x^{8}} d x$

Etapa 2.3.2

Deixe $u_{1} = x^{2}$ . Depois, $d u_{1} = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Deixe $u_{1} = x^{2}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.3.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$y + C_{1} = - 8 \int {\sqrt{u_{1}}}^{6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Reescreva ${\sqrt{u_{1}}}^{6}$ como ${u_{1}}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - 8 \int {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.3.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 6} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.3.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $6$ .

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{\frac{6}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.3.1.4

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1.4.1

Fatore $2$ de $6$ .

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.3.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.3.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.3.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{\frac{3}{1}} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.3.1.4.2.4

Divida $3$ por $1$ .

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.3.2

Reescreva ${\sqrt{u_{1}}}^{8}$ como ${u_{1}}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.3.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 8}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.3.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $8$ .

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{8}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.3.2.4

Cancele o fator comum de $8$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.4.1

Fatore $2$ de $8$ .

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.3.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.3.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.3.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{\frac{4}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.3.2.4.2.4

Divida $4$ por $1$ .

$y + C_{1} = - 8 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e ${u_{1}}^{3}$ .

$y + C_{1} = - 8 \int \frac{{u_{1}}^{3}}{2} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Etapa 2.3.3.4

Combine $\frac{{u_{1}}^{3}}{2}$ e $e^{- {u_{1}}^{4}}$ .

$y + C_{1} = - 8 \int \frac{{u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}}}{2} d u_{1}$

Etapa 2.3.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - 8 (\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 8$ .

$y + C_{1} = \frac{- 8}{2} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Etapa 2.3.5.2

Cancele o fator comum de $- 8$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.1

Fatore $2$ de $- 8$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 4}{2} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Etapa 2.3.5.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Etapa 2.3.5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Etapa 2.3.5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} = \frac{- 4}{1} \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Etapa 2.3.5.2.2.4

Divida $- 4$ por $1$ .

$y + C_{1} = - 4 \int {u_{1}}^{3} e^{- {u_{1}}^{4}} d u_{1}$

Etapa 2.3.6

Deixe $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Depois, $d u_{2} = 2 u_{1} d u_{1}$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.1

Deixe $u_{2} = {u_{1}}^{2}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.1.1

Diferencie ${u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Etapa 2.3.6.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u_{1}$

Etapa 2.3.6.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {\sqrt{u_{2}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.1

Reescreva ${\sqrt{u_{2}}}^{4}$ como ${u_{2}}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u_{2}}$ como ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {({u_{2}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 2.3.7.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 2.3.7.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 2.3.7.1.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.1.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 2.3.7.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 2.3.7.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 2.3.7.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 2.3.7.1.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 2.3.7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $u_{2}$ .

$y + C_{1} = - 4 \int \frac{u_{2}}{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.7.3

Combine $\frac{u_{2}}{2}$ e $e^{- {u_{2}}^{2}}$ .

$y + C_{1} = - 4 \int \frac{u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}}}{2} d u_{2}$

Etapa 2.3.8

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Etapa 2.3.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.9.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 4$ .

$y + C_{1} = \frac{- 4}{2} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.9.2

Cancele o fator comum de $- 4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.9.2.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.9.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.9.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.9.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.9.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} = \frac{- 2}{1} \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.9.2.2.4

Divida $- 2$ por $1$ .

$y + C_{1} = - 2 \int u_{2} e^{- {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.10

Deixe $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ . Depois, $d u_{3} = - 2 u_{2} d u_{2}$ , então, $- \frac{1}{2} d u_{3} = u_{2} d u_{2}$ . Reescreva usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.10.1

Deixe $u_{3} = - {u_{2}}^{2}$ . Encontre $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.10.1.1

Diferencie $- {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [- {u_{2}}^{2}]$

Etapa 2.3.10.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $u_{2}$ , a derivada de $- {u_{2}}^{2}$ em relação a $u_{2}$ é $- \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$ .

$- \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}]$

Etapa 2.3.10.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- (2 u_{2})$

Etapa 2.3.10.1.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 u_{2}$

Etapa 2.3.10.2

Reescreva o problema usando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$y + C_{1} = - 2 \int e^{u_{3}} \frac{1}{- 2} d u_{3}$

Etapa 2.3.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.11.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y + C_{1} = - 2 \int e^{u_{3}} (- \frac{1}{2}) d u_{3}$

Etapa 2.3.11.2

Combine $e^{u_{3}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = - 2 \int - \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

Etapa 2.3.12

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{3}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - 2 (- \int \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3})$

Etapa 2.3.13

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{e^{u_{3}}}{2} d u_{3}$

Etapa 2.3.14

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{3}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3})$

Etapa 2.3.15

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.15.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Etapa 2.3.15.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.15.2.1

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Etapa 2.3.15.2.2

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} = 1 \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Etapa 2.3.15.3

Multiplique $\int e^{u_{3}} d u_{3}$ por $1$ .

$y + C_{1} = \int e^{u_{3}} d u_{3}$

Etapa 2.3.16

A integral de $e^{u_{3}}$ com relação a $u_{3}$ é $e^{u_{3}}$ .

$y + C_{1} = e^{u_{3}} + C_{2}$

Etapa 2.3.17

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.17.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $- {u_{2}}^{2}$ .

$y + C_{1} = e^{- {u_{2}}^{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.17.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por ${u_{1}}^{2}$ .

$y + C_{1} = e^{- {({u_{1}}^{2})}^{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.17.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2}$ .

$y + C_{1} = e^{- {({(x^{2})}^{2})}^{2}} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = e^{- {({(x^{2})}^{2})}^{2}} + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $0$ por $x$ e $8$ por $y$ em $y = e^{- {({(x^{2})}^{2})}^{2}} + K$ .

$8 = e^{- {({(0^{2})}^{2})}^{2}} + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Reescreva a equação como $e^{- {({(0^{2})}^{2})}^{2}} + K = 8$ .

$e^{- {({(0^{2})}^{2})}^{2}} + K = 8$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Multiplique os expoentes em ${({(0^{2})}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{- {(0^{2})}^{2 \cdot 2}} + K = 8$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$e^{- {(0^{2})}^{4}} + K = 8$

Etapa 4.2.2

Multiplique os expoentes em ${(0^{2})}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{- 0^{2 \cdot 4}} + K = 8$

Etapa 4.2.2.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$e^{- 0^{8}} + K = 8$

Etapa 4.2.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$e^{- 0} + K = 8$

Etapa 4.2.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$e^{0} + K = 8$

Etapa 4.2.5

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$1 + K = 8$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$K = 8 - 1$

Etapa 4.3.2

Subtraia $1$ de $8$ .

$K = 7$

Etapa 5

Substitua $7$ por $K$ em $y = e^{- {({(x^{2})}^{2})}^{2}} + K$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua $7$ por $K$ .

$y = e^{- {({(x^{2})}^{2})}^{2}} + 7$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2})}^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = e^{- {(x^{2})}^{2 \cdot 2}} + 7$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = e^{- {(x^{2})}^{4}} + 7$

Etapa 5.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = e^{- x^{2 \cdot 4}} + 7$

Etapa 5.2.2.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$y = e^{- x^{8}} + 7$