Cálculo Exemplos

$y (1 + x y) d x - x d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = y (1 + x y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (1 + x y)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = y$ e $g (y) = 1 + x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [1 + x y] + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x y]) + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.2

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [x y]) + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d y} [x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [x y] + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.4

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x y$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (x \frac{d}{d y} [y]) + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (x \cdot 1) + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.6

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y x + (1 + x y) \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y x + (1 + x y) \cdot 1$

Etapa 1.3.8

Multiplique $1 + x y$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y x + 1 + x y$

Etapa 1.4

Some $y x$ e $x y$ .

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Etapa 1.4.1

Reordene $y$ e $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x y + x y + 1$

Etapa 1.4.2

Some $x y$ e $x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 1$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = - x$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 1$

Etapa 2.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $2 x y + 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x y + 1 = - 1$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$2 x y + 1 = - 1$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $- 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 4.2

Substitua $2 x y + 1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 1 - (2 x y + 1)}{M}$

Etapa 4.3

Substitua $y (1 + x y)$ por $M$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $y (1 + x y)$ por $M$ .

$\frac{- 1 - (2 x y + 1)}{y (1 + x y)}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.2.1

Fatore $- 1$ de $- 1 - (2 x y + 1)$ .

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Etapa 4.3.2.1.1

Reordene $- 1$ e $- (2 x y + 1)$ .

$\frac{- (2 x y + 1) - 1}{y (1 + x y)}$

Etapa 4.3.2.1.2

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x y + 1) - 1 (1)}{y (1 + x y)}$

Etapa 4.3.2.1.3

Fatore $- 1$ de $- (2 x y + 1) - 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x y + 1 + 1)}{y (1 + x y)}$

Etapa 4.3.2.2

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- (2 x y + 2)}{y (1 + x y)}$

Etapa 4.3.2.3

Fatore $2$ de $2 x y + 2$ .

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Etapa 4.3.2.3.1

Fatore $2$ de $2 x y$ .

$\frac{- (2 (x y) + 2)}{y (1 + x y)}$

Etapa 4.3.2.3.2

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{- (2 (x y) + 2 (1))}{y (1 + x y)}$

Etapa 4.3.2.3.3

Fatore $2$ de $2 (x y) + 2 (1)$ .

$\frac{- (2 (x y + 1))}{y (1 + x y)}$

$\frac{- 1 \cdot 2 (x y + 1)}{y (1 + x y)}$

Etapa 4.3.2.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 (x y + 1)}{y (1 + x y)}$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum de $x y + 1$ e $1 + x y$ .

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Etapa 4.3.3.1

Reordene os termos.

$\frac{- 2 (x y + 1)}{y (x y + 1)}$

Etapa 4.3.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 (x y + 1)}{y (x y + 1)}$

Etapa 4.3.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2}{y}$

Etapa 4.3.4

Substitua $y (1 + x y)$ por $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

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Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Etapa 5.2

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Etapa 5.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Etapa 5.4

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Etapa 5.5

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Etapa 5.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.6.1

Simplifique $- 2 \ln (| y |)$ movendo $- 2$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Etapa 5.6.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Etapa 5.6.3

Remova o valor absoluto em ${| y |}^{- 2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Etapa 5.6.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $y (1 + x y) d x - x d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{y^{2}}$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $y (1 + x y)$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$y (1 + x y) \frac{1}{y^{2}} d x - x d y = 0$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 6.2.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$y (1 + x y) \frac{1}{y \cdot y} d x - x d y = 0$

Etapa 6.2.2

Cancele o fator comum.

$y (1 + x y) \frac{1}{y \cdot y} d x - x d y = 0$

Etapa 6.2.3

Reescreva a expressão.

$(1 + x y) \frac{1}{y} d x - x d y = 0$

Etapa 6.3

Multiplique $1 + x y$ por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x - x d y = 0$

Etapa 6.4

Multiplique $- x$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x - x \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 6.5

Combine $\frac{1}{y^{2}}$ e $x$ .

$\frac{1 + x y}{y} d x - \frac{x}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{x}{y^{2}} d y$

Etapa 8

Integre $N (x, y) = - \frac{x}{y^{2}}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$f (x, y) = - \int \frac{x}{y^{2}} d y$

Etapa 8.2

Como $x$ é constante com relação a $y$ , mova $x$ para fora da integral.

$f (x, y) = - (x \int \frac{1}{y^{2}} d y)$

Etapa 8.3

Remova os parênteses.

$f (x, y) = - x \int \frac{1}{y^{2}} d y$

Etapa 8.4

Mova $y^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$f (x, y) = - x \int {(y^{2})}^{- 1} d y$

Etapa 8.5

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 8.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = - x \int y^{2 \cdot - 1} d y$

Etapa 8.5.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (x, y) = - x \int y^{- 2} d y$

Etapa 8.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- 2}$ com relação a $y$ é $- y^{- 1}$ .

$f (x, y) = - x (- y^{- 1} + C)$

Etapa 8.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.7.1

Reescreva $- x (- y^{- 1} + C)$ como $- x (- \frac{1}{y}) + C$ .

$f (x, y) = - x (- \frac{1}{y}) + C$

Etapa 8.7.2

Simplifique.

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Etapa 8.7.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (x, y) = 1 x \frac{1}{y} + C$

Etapa 8.7.2.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$f (x, y) = x \frac{1}{y} + C$

Etapa 8.7.2.3

Combine $x$ e $\frac{1}{y}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + g (x)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1 + x y}{y}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{y} + g (x)] = \frac{1 + x y}{y}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x}{y} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{y}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Como $\frac{1}{y}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{y}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{y}$

Etapa 11.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{y}$

Etapa 11.3.3

Multiplique $\frac{1}{y}$ por $1$ .

$\frac{1}{y} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{y}$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{1}{y} + \frac{d g}{d x} = \frac{1 + x y}{y}$

Etapa 11.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{y} = \frac{1 + x y}{y}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 12.1

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1.1

Subtraia $\frac{1 + x y}{y}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{y} - \frac{1 + x y}{y} = 0$

Etapa 12.1.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d x} + \frac{1 - (1 + x y)}{y} = 0$

Etapa 12.1.1.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{1 - 1 \cdot 1 - (x y)}{y} = 0$

Etapa 12.1.1.3.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{1 - 1 - x y}{y} = 0$

Etapa 12.1.1.4

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{0 - x y}{y} = 0$

Etapa 12.1.1.5

Subtraia $x y$ de $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x y}{y} = 0$

Etapa 12.1.1.6

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 12.1.1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x y}{y} = 0$

Etapa 12.1.1.6.2

Divida $- x$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} - x = 0$

Etapa 12.1.2

Some $x$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = x$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $x$ para encontrar $g (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Etapa 13.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 14

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = \frac{x}{y} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 15

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + \frac{x^{2}}{2} + C$