Cálculo Exemplos

$2 x \frac{d y}{d x} - \ln (x^{2}) = 0$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Resolva $\frac{d y}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Some $\ln (x^{2})$ aos dois lados da equação.

$2 x \frac{d y}{d x} = \ln (x^{2})$

Etapa 1.1.2

Divida cada termo em $2 x \frac{d y}{d x} = \ln (x^{2})$ por $2 x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Divida cada termo em $2 x \frac{d y}{d x} = \ln (x^{2})$ por $2 x$ .

$\frac{2 x \frac{d y}{d x}}{2 x} = \frac{\ln (x^{2})}{2 x}$

Etapa 1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x \frac{d y}{d x}}{2 x} = \frac{\ln (x^{2})}{2 x}$

Etapa 1.1.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\ln (x^{2})}{2 x}$

Etapa 1.1.2.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\ln (x^{2})}{2 x}$

Etapa 1.1.2.2.2.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x^{2})}{2 x}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Expanda $\ln (x^{2})$ movendo $2$ para fora do logaritmo.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \ln (x)}{2 x}$

Etapa 1.1.2.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \ln (x)}{2 x}$

Etapa 1.1.2.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x}$

Etapa 1.2

Reescreva a equação.

$d y = \frac{\ln (x)}{x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Deixe $u = \ln (x)$ . Depois, $d u = \frac{1}{x} d x$ , então, $x d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Deixe $u = \ln (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 2.3.1.1.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \int u d u$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u$ com relação a $u$ é $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\ln (x)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + K$