Cálculo Exemplos

$\frac{d x}{d t} = 4 (x^{2} + 1)$ ; , $x (\frac{π}{4}) = 1$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + 1} (4 (x^{2} + 1))$

Etapa 1.2

Simplifique.

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Etapa 1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = 4 \frac{1}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

Etapa 1.2.2

Combine $4$ e $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

Etapa 1.2.3

Cancele o fator comum de $x^{2} + 1$ .

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Etapa 1.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

Etapa 1.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = 4$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{x^{2} + 1} d x = 4 d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{x^{2} + 1} d x = \int 4 d t$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.1.1

Reordene $x^{2}$ e $1$ .

$\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x = \int 4 d t$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x = \int 4 d t$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ com relação a $x$ é $\arctan (x) + C_{1}$ .

$\arctan (x) + C_{1} = \int 4 d t$

Etapa 2.3

Aplique a regra da constante.

$\arctan (x) + C_{1} = 4 t + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\arctan (x) = 4 t + K$

Etapa 3

Calcule o arco tangente inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do arco tangente.

$x = \tan (4 t + K)$

Etapa 4

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $\frac{π}{4}$ por $t$ e $1$ por $x$ em $x = \tan (4 t + K)$ .

$1 = \tan (4 \frac{π}{4} + K)$

Etapa 5

Resolva $K$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $\tan (4 (\frac{π}{4}) + K) = 1$ .

$\tan (4 (\frac{π}{4}) + K) = 1$

Etapa 5.2

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $K$ de dentro da tangente.

$4 (\frac{π}{4}) + K = \arctan (1)$

Etapa 5.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.3.1.1

Cancele o fator comum.

$4 \frac{π}{4} + K = \arctan (1)$

Etapa 5.3.1.2

Reescreva a expressão.

$π + K = \arctan (1)$

Etapa 5.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.1

O valor exato de $\arctan (1)$ é $\frac{π}{4}$ .

$π + K = \frac{π}{4}$

Etapa 5.5

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.5.1

Subtraia $π$ dos dois lados da equação.

$K = \frac{π}{4} - π$

Etapa 5.5.2

Para escrever $- π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$K = \frac{π}{4} - π \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 5.5.3

Combine $- π$ e $\frac{4}{4}$ .

$K = \frac{π}{4} + \frac{- π \cdot 4}{4}$

Etapa 5.5.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$K = \frac{π - π \cdot 4}{4}$

Etapa 5.5.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.5.5.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$K = \frac{π - 4 π}{4}$

Etapa 5.5.5.2

Subtraia $4 π$ de $π$ .

$K = \frac{- 3 π}{4}$

Etapa 5.5.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$K = - \frac{3 π}{4}$

Etapa 5.6

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$π + K = π + \frac{π}{4}$

Etapa 5.7

Resolva $K$ .

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Etapa 5.7.1

Simplifique $π + \frac{π}{4}$ .

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Etapa 5.7.1.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$π + K = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 5.7.1.2

Combine frações.

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Etapa 5.7.1.2.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$π + K = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 5.7.1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$π + K = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Etapa 5.7.1.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.7.1.3.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$π + K = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Etapa 5.7.1.3.2

Some $4 π$ e $π$ .

$π + K = \frac{5 π}{4}$

Etapa 5.7.2

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.7.2.1

Subtraia $π$ dos dois lados da equação.

$K = \frac{5 π}{4} - π$

Etapa 5.7.2.2

Para escrever $- π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$K = \frac{5 π}{4} - π \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 5.7.2.3

Combine $- π$ e $\frac{4}{4}$ .

$K = \frac{5 π}{4} + \frac{- π \cdot 4}{4}$

Etapa 5.7.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$K = \frac{5 π - π \cdot 4}{4}$

Etapa 5.7.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.7.2.5.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$K = \frac{5 π - 4 π}{4}$

Etapa 5.7.2.5.2

Subtraia $4 π$ de $5 π$ .

$K = \frac{π}{4}$

Etapa 5.8

Encontre o período de $\tan (4 (\frac{π}{4}) + K)$ .

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Etapa 5.8.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 5.8.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 5.8.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 5.8.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 5.9

Some $π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 5.9.1

Some $π$ com $- \frac{3 π}{4}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{3 π}{4} + π$

Etapa 5.9.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Etapa 5.9.3

Combine frações.

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Etapa 5.9.3.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Etapa 5.9.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Etapa 5.9.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.9.4.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - 3 π}{4}$

Etapa 5.9.4.2

Subtraia $3 π$ de $4 π$ .

$\frac{π}{4}$

Etapa 5.9.5

Liste os novos ângulos.

$K = \frac{π}{4}$

Etapa 5.10

O período da função $\tan (4 (\frac{π}{4}) + K)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$K = \frac{π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5.11

Consolide as respostas.

$K = \frac{π}{4} + π n$

Etapa 6

Substitua $\frac{π}{4} + π n$ por $K$ em $x = \tan (4 t + K)$ e simplifique.

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Etapa 6.1

Substitua $\frac{π}{4} + π n$ por $K$ .

$x = \tan (4 t + \frac{π}{4} + π n)$