Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = x e^{x - y}$

Etapa 1

Deixe $v = e^{x - y}$ . Substitua $v$ em todas as ocorrências de $e^{x - y}$ .

$\frac{d y}{d x} = x v$

Etapa 2

Encontre $\frac{d v}{d x}$ ao diferenciar $e^{x - y}$ .

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x - y$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - y]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [x - y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Etapa 2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.5

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 - y')$

Etapa 3

Substitua $v$ por $e^{x - y}$ .

$\frac{d v}{d x} = v (1 - y')$

Etapa 4

Substitua a derivada na equação diferencial.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 1 = x v$

Etapa 5

Multiplique cada termo em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 1 = x v$ por $- v$ para eliminar as frações.

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Etapa 5.1

Multiplique cada termo em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 1 = x v$ por $- v$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} (- v) + 1 (- v) = x v (- v)$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum de $v$ .

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Etapa 5.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v}$ para o numerador.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (- v) + 1 (- v) = x v (- v)$

Etapa 5.2.1.1.2

Fatore $v$ de $- v$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (v \cdot - 1) + 1 (- v) = x v (- v)$

Etapa 5.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v} (v \cdot - 1) + 1 (- v) = x v (- v)$

Etapa 5.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + 1 (- v) = x v (- v)$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + 1 (- v) = x v (- v)$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $\frac{d v}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} + 1 (- v) = x v (- v)$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $- v$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} - v = x v (- v)$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d v}{d x} - v = - x v \cdot v$

Etapa 5.3.2

Multiplique $v$ por $v$ somando os expoentes.

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Etapa 5.3.2.1

Mova $v$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - x (v \cdot v)$

Etapa 5.3.2.2

Multiplique $v$ por $v$ .

$\frac{d v}{d x} - v = - x v^{2}$

Etapa 6

Para resolver a equação diferencial, deixe $v = y^{1 - n}$ , em que $n$ é o expoente de $v^{2}$ .

$v = v^{- 1}$

Etapa 7

Resolva a equação para $v$ .

$y = v^{- 1}$

Etapa 8

Calcule a derivada de $y$ com relação a $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Etapa 9

Calcule a derivada de $v^{- 1}$ com relação a $x$ .

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Etapa 9.1

Calcule a derivada de $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Etapa 9.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Etapa 9.3

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 1$ e $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Etapa 9.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 9.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Etapa 9.4.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Etapa 9.4.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.4.3.1

Multiplique $v$ por $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Etapa 9.4.3.2

Subtraia $\frac{d}{d x} [v]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Etapa 9.4.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Etapa 9.5

Reescreva $\frac{d}{d x} [v]$ como $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Etapa 10

Substitua $- \frac{v'}{v^{2}}$ por $\frac{d v}{d x}$ e $v^{- 1}$ por $v$ na equação original $\frac{d v}{d x} - v = - x v^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} - v^{- 1} = - x {(v^{- 1})}^{2}$

Etapa 11

Resolva a equação diferencial substituída.

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Etapa 11.1

Multiplique cada termo em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = - x {(v^{- 1})}^{2}$ por $- v^{2}$ para eliminar as frações.

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Etapa 11.1.1

Multiplique cada termo em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - v^{- 1} = - x {(v^{- 1})}^{2}$ por $- v^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 11.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 11.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.1.2.1.1

Cancele o fator comum de $v^{2}$ .

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Etapa 11.1.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ para o numerador.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 11.1.2.1.1.2

Fatore $v^{2}$ de $- v^{2}$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 11.1.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 11.1.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 11.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 11.1.2.1.3

Multiplique $\frac{d v}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} - v^{- 1} (- v^{2}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 11.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{- 1} v^{2} = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 11.1.2.1.5

Multiplique $v^{- 1}$ por $v^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 11.1.2.1.5.1

Mova $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 (v^{2} v^{- 1}) = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 11.1.2.1.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{2 - 1} = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 11.1.2.1.5.3

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v^{1} = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 11.1.2.1.6

Simplifique $- 1 \cdot - 1 v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot - 1 v = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 11.1.2.1.7

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 1 v = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 11.1.2.1.8

Multiplique $v$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Etapa 11.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 11.1.3.1

Multiplique os expoentes em ${(v^{- 1})}^{2}$ .

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Etapa 11.1.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x v^{- 1 \cdot 2} (- v^{2})$

Etapa 11.1.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x v^{- 2} (- v^{2})$

Etapa 11.1.3.2

Multiplique $v^{- 2}$ por $v^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 11.1.3.2.1

Mova $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x (v^{2} v^{- 2}) \cdot - 1$

Etapa 11.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d v}{d x} + v = - x v^{2 - 2} \cdot - 1$

Etapa 11.1.3.2.3

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x v^{0} \cdot - 1$

Etapa 11.1.3.3

Simplifique $- x v^{0} \cdot - 1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = - x \cdot - 1$

Etapa 11.1.3.4

Multiplique $- x \cdot - 1$ .

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Etapa 11.1.3.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = 1 x$

Etapa 11.1.3.4.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} + v = x$

Etapa 11.2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = 1$ .

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Etapa 11.2.1

Determine a integração.

$e^{\int d x}$

Etapa 11.2.2

Aplique a regra da constante.

$e^{x + C}$

Etapa 11.2.3

Remova a constante de integração.

$e^{x}$

Etapa 11.3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{x}$ .

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Etapa 11.3.1

Multiplique cada termo por $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} x$

Etapa 11.3.2

Reordene os fatores em $e^{x} \frac{d v}{d x} + e^{x} v = e^{x} x$ .

$e^{x} \frac{d v}{d x} + v e^{x} = x e^{x}$

Etapa 11.4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{x} v] = x e^{x}$

Etapa 11.5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} v] d x = \int x e^{x} d x$

Etapa 11.6

Integre o lado esquerdo.

$e^{x} v = \int x e^{x} d x$

Etapa 11.7

Integre o lado direito.

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Etapa 11.7.1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{x}$ .

$e^{x} v = x e^{x} - \int e^{x} d x$

Etapa 11.7.2

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$e^{x} v = x e^{x} - (e^{x} + C)$

Etapa 11.7.3

Simplifique.

$e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C$

Etapa 11.8

Divida cada termo em $e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C$ por $e^{x}$ e simplifique.

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Etapa 11.8.1

Divida cada termo em $e^{x} v = x e^{x} - e^{x} + C$ por $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 11.8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 11.8.2.1

Cancele o fator comum de $e^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{x} v}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 11.8.2.1.2

Divida $v$ por $1$ .

$v = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 11.8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 11.8.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.8.3.1.1

Cancele o fator comum de $e^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.8.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$v = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 11.8.3.1.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$v = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 11.8.3.1.2

Cancele o fator comum de $e^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.8.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$v = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 11.8.3.1.2.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$v = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 12

Substitua $v^{- 1}$ por $v$ .

$v^{- 1} = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 13

Substitua todas as ocorrências de $v$ por $e^{x - y}$ .

${(e^{x - y})}^{- 1} = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$

Etapa 14

Resolva $y$ .

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Etapa 14.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{- x + y}) = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}})$

Etapa 14.2

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 14.2.1

Expanda $\ln (e^{- x + y})$ movendo $- x + y$ para fora do logaritmo.

$(- x + y) \ln (e) = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}})$

Etapa 14.2.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$(- x + y) \cdot 1 = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}})$

Etapa 14.2.3

Multiplique $- x + y$ por $1$ .

$- x + y = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}})$

Etapa 14.3

Some $x$ aos dois lados da equação.

$y = \ln (x - 1 + \frac{C}{e^{x}}) + x$