Cálculo Exemplos

$x d y = (x^{5} + 3 y) d x$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial para ajustá-la à técnica de equação diferencial exata.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Subtraia $(x^{5} + 3 y) d x$ dos dois lados da equação.

$x d y - (x^{5} + 3 y) d x = 0$

Etapa 1.2

Reescreva.

$- (x^{5} + 3 y) d x + x d y = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = - (x^{5} + 3 y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x^{5} + 3 y)]$

Etapa 2.2

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- (x^{5} + 3 y)$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [x^{5} + 3 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x^{5} + 3 y]$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{5} + 3 y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [3 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [3 y])$

Etapa 2.4

Como $x^{5}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x^{5}$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (0 + \frac{d}{d y} [3 y])$

Etapa 2.5

Some $0$ e $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [3 y]$

Etapa 2.6

Como $3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 y$ em relação a $y$ é $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (3 \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 2.7

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3 \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3 \cdot 1$

Etapa 2.9

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3$

Etapa 3

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Etapa 4

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $- 3$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 3 = 1$

Etapa 4.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$- 3 = 1$ não é uma identidade.

Etapa 5

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua $- 3$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 3 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 5.2

Substitua $1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 3 - 1}{N}$

Etapa 5.3

Substitua $x$ por $N$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Substitua $x$ por $N$ .

$\frac{- 3 - 1}{x}$

Etapa 5.3.2

Subtraia $1$ de $- 3$ .

$\frac{- 4}{x}$

Etapa 5.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4}{x}$

Etapa 5.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

Etapa 6

Avalie a integral $e^{\int - \frac{4}{x} d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

Etapa 6.2

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

Etapa 6.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 6.4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 6.5

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| x |)} + C$

Etapa 6.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1

Simplifique $- 4 \ln (| x |)$ movendo $- 4$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 4})} + C$

Etapa 6.6.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 4} + C$

Etapa 6.6.3

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{- 4}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$μ (x, y) = x^{- 4} + C$

Etapa 6.6.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{4}} + C$

Etapa 7

Multiplique ambos os lados de $- (x^{5} + 3 y) d x + x d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{x^{4}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Multiplique $- (x^{5} + 3 y)$ por $\frac{1}{x^{4}}$ .

$- (x^{5} + 3 y) \frac{1}{x^{4}} d x + x d y = 0$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(- x^{5} - (3 y)) \frac{1}{x^{4}} d x + x d y = 0$

Etapa 7.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$(- x^{5} - 3 y) \frac{1}{x^{4}} d x + x d y = 0$

Etapa 7.4

Multiplique $- x^{5} - 3 y$ por $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- x^{5} - 3 y}{x^{4}} d x + x d y = 0$

Etapa 7.5

Fatore $- 1$ de $- x^{5}$ .

$\frac{- (x^{5}) - 3 y}{x^{4}} d x + x d y = 0$

Etapa 7.6

Fatore $- 1$ de $- 3 y$ .

$\frac{- (x^{5}) - (3 y)}{x^{4}} d x + x d y = 0$

Etapa 7.7

Fatore $- 1$ de $- (x^{5}) - (3 y)$ .

$\frac{- (x^{5} + 3 y)}{x^{4}} d x + x d y = 0$

Etapa 7.8

Reescreva $- (x^{5} + 3 y)$ como $- 1 (x^{5} + 3 y)$ .

$\frac{- 1 (x^{5} + 3 y)}{x^{4}} d x + x d y = 0$

Etapa 7.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}} d x + x d y = 0$

Etapa 7.10

Multiplique $x$ por $\frac{1}{x^{4}}$ .

$- \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}} d x + x \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Etapa 7.11

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.11.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$- \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}} d x + x \frac{1}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

Etapa 7.11.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}} d x + x \frac{1}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

Etapa 7.11.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}} d x + \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Etapa 8

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{x^{3}} d y$

Etapa 9

Integre $N (x, y) = \frac{1}{x^{3}}$ para encontrar $f (x, y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} y + C$

Etapa 9.2

Combine $\frac{1}{x^{3}}$ e $y$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x^{3}} + C$

Etapa 10

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x^{3}} + g (x)$

Etapa 11

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Etapa 12

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{3}} + g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Etapa 12.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{y}{x^{3}} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Etapa 12.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{3}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{y}{x^{3}}$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Etapa 12.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$y \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Etapa 12.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{3}$ .

$y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Etapa 12.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Etapa 12.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3}$ .

$y (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Etapa 12.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$y (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Etapa 12.3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Etapa 12.3.5.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$y (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Etapa 12.3.6

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$y (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Etapa 12.3.7

Multiplique $x^{- 6}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.3.7.1

Mova $x^{2}$ .

$y (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Etapa 12.3.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Etapa 12.3.7.3

Subtraia $6$ de $2$ .

$y (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Etapa 12.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$y (- 3 x^{- 4}) + \frac{d g}{d x} = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Etapa 12.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Etapa 12.5.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.5.2.1

Combine $- 3$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$y \frac{- 3}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Etapa 12.5.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y (- \frac{3}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Etapa 12.5.2.3

Combine $y$ e $\frac{3}{x^{4}}$ .

$- \frac{y \cdot 3}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Etapa 12.5.2.4

Mova $3$ para a esquerda de $y$ .

$- \frac{3 y}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Etapa 12.5.3

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} - \frac{3 y}{x^{4}} = - \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$

Etapa 13

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.1

Some $\frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} - \frac{3 y}{x^{4}} + \frac{x^{5} + 3 y}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 3 y + x^{5} + 3 y}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.1.3

Combine os termos opostos em $- 3 y + x^{5} + 3 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.3.1

Some $- 3 y$ e $3 y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{5} + 0}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.1.3.2

Some $x^{5}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{5}}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.1.4

Cancele o fator comum de $x^{5}$ e $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.4.1

Fatore $x^{4}$ de $x^{5}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{4} x}{x^{4}} = 0$

Etapa 13.1.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.4.2.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{4} x}{x^{4} \cdot 1} = 0$

Etapa 13.1.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{4} x}{x^{4} \cdot 1} = 0$

Etapa 13.1.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x}{1} = 0$

Etapa 13.1.1.4.2.4

Divida $x$ por $1$ .

$\frac{d g}{d x} + x = 0$

Etapa 13.1.2

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = - x$

Etapa 14

Encontre a antiderivada de $- x$ para encontrar $g (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = - x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x d x$

Etapa 14.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x d x$

Etapa 14.3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (x) = - \int x d x$

Etapa 14.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 14.5

Reescreva $- (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $- \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 15

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = \frac{y}{x^{3}} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x^{3}} - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 16

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x^{3}} - \frac{x^{2}}{2} + C$