Cálculo Exemplos

$\frac{d f}{d x} = \frac{4 x + x f^{2}}{f - x^{2} f}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $x$ de $4 x + x f^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore $x$ de $4 x$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{x \cdot 4 + x f^{2}}{f - x^{2} f}$

Etapa 1.1.2

Fatore $x$ de $x f^{2}$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{x \cdot 4 + x (f^{2})}{f - x^{2} f}$

Etapa 1.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot 4 + x (f^{2})$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{x \cdot (4 + f^{2})}{f - x^{2} f}$

Etapa 1.1.4

Multiplique $x$ por $4 + f^{2}$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f - x^{2} f}$

Etapa 1.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore $f$ de $f - x^{2} f$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Eleve $f$ à potência de $1$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f^{1} - x^{2} f}$

Etapa 1.2.1.2

Fatore $f$ de $f^{1}$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f \cdot 1 - x^{2} f}$

Etapa 1.2.1.3

Fatore $f$ de $- x^{2} f$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f \cdot 1 + f (- x^{2})}$

Etapa 1.2.1.4

Fatore $f$ de $f \cdot 1 + f (- x^{2})$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f \cdot (1 - x^{2})}$

Etapa 1.2.1.5

Multiplique $f$ por $1 - x^{2}$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f (1 - x^{2})}$

Etapa 1.2.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f (1^{2} - x^{2})}$

Etapa 1.2.3

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f ((1 + x) (1 - x))}$

Etapa 1.2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{d f}{d x} = \frac{x (4 + f^{2})}{f (1 + x) (1 - x)}$

Etapa 1.3

Reagrupe os fatores.

$\frac{d f}{d x} = \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} \cdot \frac{4 + f^{2}}{f}$

Etapa 1.4

Multiplique os dois lados por $\frac{f}{4 + f^{2}}$ .

$\frac{f}{4 + f^{2}} \frac{d f}{d x} = \frac{f}{4 + f^{2}} (\frac{x}{(1 + x) (1 - x)} \cdot \frac{4 + f^{2}}{f})$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Multiplique $\frac{x}{(1 + x) (1 - x)}$ por $\frac{4 + f^{2}}{f}$ .

$\frac{f}{4 + f^{2}} \frac{d f}{d x} = \frac{f}{4 + f^{2}} \cdot \frac{x (4 + f^{2})}{(1 + x) (1 - x) f}$

Etapa 1.5.2

Cancele o fator comum de $f$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1

Fatore $f$ de $(1 + x) (1 - x) f$ .

$\frac{f}{4 + f^{2}} \frac{d f}{d x} = \frac{f}{4 + f^{2}} \cdot \frac{x (4 + f^{2})}{f ((1 + x) (1 - x))}$

Etapa 1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{f}{4 + f^{2}} \frac{d f}{d x} = \frac{f}{4 + f^{2}} \cdot \frac{x (4 + f^{2})}{f ((1 + x) (1 - x))}$

Etapa 1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{f}{4 + f^{2}} \frac{d f}{d x} = \frac{1}{4 + f^{2}} \cdot \frac{x (4 + f^{2})}{(1 + x) (1 - x)}$

Etapa 1.5.3

Cancele o fator comum de $4 + f^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Fatore $4 + f^{2}$ de $x (4 + f^{2})$ .

$\frac{f}{4 + f^{2}} \frac{d f}{d x} = \frac{1}{4 + f^{2}} \cdot \frac{(4 + f^{2}) x}{(1 + x) (1 - x)}$

Etapa 1.5.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{f}{4 + f^{2}} \frac{d f}{d x} = \frac{1}{4 + f^{2}} \cdot \frac{(4 + f^{2}) x}{(1 + x) (1 - x)}$

Etapa 1.5.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{f}{4 + f^{2}} \frac{d f}{d x} = \frac{x}{(1 + x) (1 - x)}$

Etapa 1.6

Reescreva a equação.

$\frac{f}{4 + f^{2}} d f = \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{f}{4 + f^{2}} d f = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Deixe $u_{1} = 4 + f^{2}$ . Depois, $d u_{1} = 2 f d f$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = f d f$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Deixe $u_{1} = 4 + f^{2}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d f}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $4 + f^{2}$ .

$\frac{d}{d f} [4 + f^{2}]$

Etapa 2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 + f^{2}$ com relação a $f$ é $\frac{d}{d f} [4] + \frac{d}{d f} [f^{2}]$ .

$\frac{d}{d f} [4] + \frac{d}{d f} [f^{2}]$

Etapa 2.2.1.1.3

Como $4$ é constante em relação a $f$ , a derivada de $4$ em relação a $f$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d f} [f^{2}]$

Etapa 2.2.1.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d f} [f^{n}]$ é $n f^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + 2 f$

Etapa 2.2.1.1.5

Some $0$ e $2 f$ .

$2 f$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Multiplique $\frac{1}{u_{1}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Etapa 2.2.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Etapa 2.2.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Etapa 2.2.4

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Etapa 2.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $4 + f^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = \int \frac{x}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Deixe $u_{2} = (1 + x) (1 - x)$ . Depois, $d u_{2} = - 2 x d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Deixe $u_{2} = (1 + x) (1 - x)$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{d}{d x} [(1 + x) (1 - x)]$

Etapa 2.3.1.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 1 + x$ e $g (x) = 1 - x$ .

$(1 + x) \frac{d}{d x} [1 - x] + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Etapa 2.3.1.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 + x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Etapa 2.3.1.1.3.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$(1 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Etapa 2.3.1.1.3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(1 + x) \frac{d}{d x} [- x] + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Etapa 2.3.1.1.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + x) (- \frac{d}{d x} [x]) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Etapa 2.3.1.1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(1 + x) (- 1 \cdot 1) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Etapa 2.3.1.1.3.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(1 + x) \cdot - 1 + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Etapa 2.3.1.1.3.6.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $1 + x$ .

$- 1 \cdot (1 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Etapa 2.3.1.1.3.6.3

Reescreva $- 1 (1 + x)$ como $- (1 + x)$ .

$- (1 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} [1 + x]$

Etapa 2.3.1.1.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (1 + x) + (1 - x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.1.1.3.8

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- (1 + x) + (1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.1.1.3.9

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [x]$ .

$- (1 + x) + (1 - x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.1.1.3.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- (1 + x) + (1 - x) \cdot 1$

Etapa 2.3.1.1.3.11

Multiplique $1 - x$ por $1$ .

$- (1 + x) + 1 - x$

Etapa 2.3.1.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 1 \cdot 1 - x + 1 - x$

Etapa 2.3.1.1.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1 - x + 1 - x$

Etapa 2.3.1.1.4.2.2

Some $- 1$ e $1$ .

$- x + 0 - x$

Etapa 2.3.1.1.4.2.3

Some $- x$ e $0$ .

$- x - x$

Etapa 2.3.1.1.4.2.4

Subtraia $x$ de $- x$ .

$- 2 x$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Etapa 2.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Etapa 2.3.2.2

Multiplique $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Etapa 2.3.2.3

Mova $2$ para a esquerda de $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 2.3.5

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Etapa 2.3.6

Simplifique.

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Etapa 2.3.7

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |) = - \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C$

Etapa 3

Resolva $f$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |)) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} \ln (| 4 + f^{2} |))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (| 4 + f^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 4 + f^{2} |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{\ln (| 4 + f^{2} |)}{2} = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique $2 (- \frac{1}{2} \ln (| (1 + x) (1 - x) |) + C)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.1

Expanda $(1 + x) (1 - x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 (1 - x) + x (1 - x) |) + C)$

Etapa 3.2.2.1.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) |) + C)$

Etapa 3.2.2.1.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) |) + C)$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.2.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) |) + C)$

Etapa 3.2.2.1.1.2.1.2

Multiplique $- x$ por $1$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x \cdot 1 + x (- x) |) + C)$

Etapa 3.2.2.1.1.2.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x + x (- x) |) + C)$

Etapa 3.2.2.1.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x - x \cdot x |) + C)$

Etapa 3.2.2.1.1.2.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.2.1.5.1

Mova $x$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x - (x \cdot x) |) + C)$

Etapa 3.2.2.1.1.2.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x + x - x^{2} |) + C)$

Etapa 3.2.2.1.1.2.2

Some $- x$ e $x$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 + 0 - x^{2} |) + C)$

Etapa 3.2.2.1.1.2.3

Some $1$ e $0$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 1 - x^{2} |) + C)$

Etapa 3.2.2.1.1.3

Combine $\ln (| 1 - x^{2} |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{\ln (| 1 - x^{2} |)}{2} + C)$

Etapa 3.2.2.1.2

Para escrever $C$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{\ln (| 1 - x^{2} |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Etapa 3.2.2.1.3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.3.1

Combine $C$ e $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 (- \frac{\ln (| 1 - x^{2} |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Etapa 3.2.2.1.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 \frac{- \ln (| 1 - x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Etapa 3.2.2.1.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\ln (| 4 + f^{2} |) = 2 \frac{- \ln (| 1 - x^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Etapa 3.2.2.1.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| 4 + f^{2} |) = - \ln (| 1 - x^{2} |) + C \cdot 2$

Etapa 3.2.2.1.4

Mova $2$ para a esquerda de $C$ .

$\ln (| 4 + f^{2} |) = - \ln (| 1 - x^{2} |) + 2 C$

Etapa 3.3

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| 4 + f^{2} |) + \ln (| 1 - x^{2} |) = 2 C$

Etapa 3.4

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 4 + f^{2} | | 1 - x^{2} |) = 2 C$

Etapa 3.5

Para multiplicar valores absolutos, multiplique os termos dentro de cada um deles.

$\ln (| (4 + f^{2}) (1 - x^{2}) |) = 2 C$

Etapa 3.6

Expanda $(4 + f^{2}) (1 - x^{2})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| 4 (1 - x^{2}) + f^{2} (1 - x^{2}) |) = 2 C$

Etapa 3.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| 4 \cdot 1 + 4 (- x^{2}) + f^{2} (1 - x^{2}) |) = 2 C$

Etapa 3.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| 4 \cdot 1 + 4 (- x^{2}) + f^{2} \cdot 1 + f^{2} (- x^{2}) |) = 2 C$

Etapa 3.7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Multiplique $4$ por $1$ .

$\ln (| 4 + 4 (- x^{2}) + f^{2} \cdot 1 + f^{2} (- x^{2}) |) = 2 C$

Etapa 3.7.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\ln (| 4 - 4 x^{2} + f^{2} \cdot 1 + f^{2} (- x^{2}) |) = 2 C$

Etapa 3.7.3

Multiplique $f^{2}$ por $1$ .

$\ln (| 4 - 4 x^{2} + f^{2} + f^{2} (- x^{2}) |) = 2 C$

Etapa 3.7.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\ln (| 4 - 4 x^{2} + f^{2} - f^{2} x^{2} |) = 2 C$

Etapa 3.8

Para resolver $f$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| 4 - 4 x^{2} + f^{2} - f^{2} x^{2} |)} = e^{2 C}$

Etapa 3.9

Reescreva $\ln (| 4 - 4 x^{2} + f^{2} - f^{2} x^{2} |) = 2 C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = | 4 - 4 x^{2} + f^{2} - f^{2} x^{2} |$

Etapa 3.10

Resolva $f$ .

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Etapa 3.10.1

Reescreva a equação como $| 4 - 4 x^{2} + f^{2} - f^{2} x^{2} | = e^{2 C}$ .

$| 4 - 4 x^{2} + f^{2} - f^{2} x^{2} | = e^{2 C}$

Etapa 3.10.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$4 - 4 x^{2} + f^{2} - f^{2} x^{2} = \pm e^{2 C}$

Etapa 3.10.3

Mova todos os termos que não contêm $f$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.10.3.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$- 4 x^{2} + f^{2} - f^{2} x^{2} = \pm e^{2 C} - 4$

Etapa 3.10.3.2

Some $4 x^{2}$ aos dois lados da equação.

$f^{2} - f^{2} x^{2} = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

Etapa 3.10.4

Fatore $f^{2}$ de $f^{2} - f^{2} x^{2}$ .

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Etapa 3.10.4.1

Multiplique por $1$ .

$f^{2} \cdot 1 - f^{2} x^{2} = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

Etapa 3.10.4.2

Fatore $f^{2}$ de $- f^{2} x^{2}$ .

$f^{2} \cdot 1 + f^{2} (- 1 x^{2}) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

Etapa 3.10.4.3

Fatore $f^{2}$ de $f^{2} \cdot 1 + f^{2} (- 1 x^{2})$ .

$f^{2} (1 - 1 x^{2}) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

Etapa 3.10.5

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$f^{2} (1^{2} - 1 x^{2}) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

Etapa 3.10.6

Fatore.

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Etapa 3.10.6.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$f^{2} ((1 + x) (1 - x)) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

Etapa 3.10.6.2

Remova os parênteses desnecessários.

$f^{2} (1 + x) (1 - x) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$

Etapa 3.10.7

Divida cada termo em $f^{2} (1 + x) (1 - x) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$ por $(1 + x) (1 - x)$ e simplifique.

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Etapa 3.10.7.1

Divida cada termo em $f^{2} (1 + x) (1 - x) = \pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}$ por $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{f^{2} (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Etapa 3.10.7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.10.7.2.1

Cancele o fator comum de $1 + x$ .

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Etapa 3.10.7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{f^{2} (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Etapa 3.10.7.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{f^{2} (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Etapa 3.10.7.2.2

Cancele o fator comum de $1 - x$ .

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Etapa 3.10.7.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{f^{2} (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Etapa 3.10.7.2.2.2

Divida $f^{2}$ por $1$ .

$f^{2} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{- 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Etapa 3.10.7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.10.7.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f^{2} = \frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} - \frac{4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}$

Etapa 3.10.8

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$f = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} - \frac{4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

Etapa 3.10.9

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C}}{(1 + x) (1 - x)} - \frac{4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$ .

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Etapa 3.10.9.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C} - 4}{(1 + x) (1 - x)} + \frac{4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

Etapa 3.10.9.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$

Etapa 3.10.9.3

Reescreva $\sqrt{\frac{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}{(1 + x) (1 - x)}}$ como $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Etapa 3.10.9.4

Multiplique $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ por $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Etapa 3.10.9.5

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 3.10.9.5.1

Multiplique $\frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ por $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Etapa 3.10.9.5.2

Eleve $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ à potência de $1$ .

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Etapa 3.10.9.5.3

Eleve $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ à potência de $1$ .

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}}$

Etapa 3.10.9.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.10.9.5.5

Some $1$ e $1$ .

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}$

Etapa 3.10.9.5.6

Reescreva ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ como $(1 + x) (1 - x)$ .

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Etapa 3.10.9.5.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ como ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.10.9.5.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.10.9.5.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.10.9.5.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.10.9.5.6.4.1

Cancele o fator comum.

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.10.9.5.6.4.2

Reescreva a expressão.

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{1}}$

Etapa 3.10.9.5.6.5

Simplifique.

$f = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$

Etapa 3.10.9.6

Combine usando a regra do produto para radicais.

$f = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{2 C} - 4 + 4 x^{2}) (1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$f = \pm \frac{\sqrt{(C + 4 x^{2}) (1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$