Cálculo Exemplos

$\frac{d f}{d x} = 55 x \sqrt{11 x^{2} + 4}$ , $f (0) = 11$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d f = 55 x \sqrt{11 x^{2} + 4} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d f = \int 55 x \sqrt{11 x^{2} + 4} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$f + C_{1} = \int 55 x \sqrt{11 x^{2} + 4} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $55$ é constante com relação a $x$ , mova $55$ para fora da integral.

$f + C_{1} = 55 \int x \sqrt{11 x^{2} + 4} d x$

Etapa 2.3.2

Deixe $u = 11 x^{2} + 4$ . Depois, $d u = 22 x d x$ , então, $\frac{1}{22} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.2.1

Deixe $u = 11 x^{2} + 4$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $11 x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [11 x^{2} + 4]$

Etapa 2.3.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $11 x^{2} + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [11 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.3.2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [11 x^{2}]$ .

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Etapa 2.3.2.1.3.1

Como $11$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $11 x^{2}$ em relação a $x$ é $11 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$11 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.3.2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$11 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.3.2.1.3.3

Multiplique $2$ por $11$ .

$22 x + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 2.3.2.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.2.1.4.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$22 x + 0$

Etapa 2.3.2.1.4.2

Some $22 x$ e $0$ .

$22 x$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$f + C_{1} = 55 \int \sqrt{u} \frac{1}{22} d u$

Etapa 2.3.3

Combine $\sqrt{u}$ e $\frac{1}{22}$ .

$f + C_{1} = 55 \int \frac{\sqrt{u}}{22} d u$

Etapa 2.3.4

Como $\frac{1}{22}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{22}$ para fora da integral.

$f + C_{1} = 55 (\frac{1}{22} \int \sqrt{u} d u)$

Etapa 2.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.5.1

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.1.1

Combine $\frac{1}{22}$ e $55$ .

$f + C_{1} = \frac{55}{22} \int \sqrt{u} d u$

Etapa 2.3.5.1.2

Cancele o fator comum de $55$ e $22$ .

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Etapa 2.3.5.1.2.1

Fatore $11$ de $55$ .

$f + C_{1} = \frac{11 (5)}{22} \int \sqrt{u} d u$

Etapa 2.3.5.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.5.1.2.2.1

Fatore $11$ de $22$ .

$f + C_{1} = \frac{11 \cdot 5}{11 \cdot 2} \int \sqrt{u} d u$

Etapa 2.3.5.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f + C_{1} = \frac{11 \cdot 5}{11 \cdot 2} \int \sqrt{u} d u$

Etapa 2.3.5.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f + C_{1} = \frac{5}{2} \int \sqrt{u} d u$

Etapa 2.3.5.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$f + C_{1} = \frac{5}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 2.3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$f + C_{1} = \frac{5}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.1

Reescreva $\frac{5}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ como $\frac{5}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ .

$f + C_{1} = \frac{5}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.2.1

Multiplique $\frac{5}{2}$ por $\frac{2}{3}$ .

$f + C_{1} = \frac{5 \cdot 2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$f + C_{1} = \frac{10}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$f + C_{1} = \frac{10}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.4

Cancele o fator comum de $10$ e $6$ .

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Etapa 2.3.7.2.4.1

Fatore $2$ de $10$ .

$f + C_{1} = \frac{2 (5)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.7.2.4.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$f + C_{1} = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f + C_{1} = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f + C_{1} = \frac{5}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $11 x^{2} + 4$ .

$f + C_{1} = \frac{5}{3} {(11 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$f = \frac{5}{3} {(11 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $0$ por $x$ e $11$ por $f$ em $f = \frac{5}{3} {(11 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$ .

$11 = \frac{5}{3} {(11 \cdot 0^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $\frac{5}{3} \cdot {(11 \cdot 0^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 11$ .

$\frac{5}{3} \cdot {(11 \cdot 0^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 11$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{5}{3} \cdot {(11 \cdot 0 + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 11$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $11$ por $0$ .

$\frac{5}{3} \cdot {(0 + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 11$

Etapa 4.2.2

Some $0$ e $4$ .

$\frac{5}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} + K = 11$

Etapa 4.2.3

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{5}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} + K = 11$

Etapa 4.2.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} + K = 11$

Etapa 4.2.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} + K = 11$

Etapa 4.2.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{5}{3} \cdot 2^{3} + K = 11$

Etapa 4.2.6

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{5}{3} \cdot 8 + K = 11$

Etapa 4.2.7

Multiplique $\frac{5}{3} \cdot 8$ .

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Etapa 4.2.7.1

Combine $\frac{5}{3}$ e $8$ .

$\frac{5 \cdot 8}{3} + K = 11$

Etapa 4.2.7.2

Multiplique $5$ por $8$ .

$\frac{40}{3} + K = 11$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.3.1

Subtraia $\frac{40}{3}$ dos dois lados da equação.

$K = 11 - \frac{40}{3}$

Etapa 4.3.2

Para escrever $11$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$K = 11 \cdot \frac{3}{3} - \frac{40}{3}$

Etapa 4.3.3

Combine $11$ e $\frac{3}{3}$ .

$K = \frac{11 \cdot 3}{3} - \frac{40}{3}$

Etapa 4.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$K = \frac{11 \cdot 3 - 40}{3}$

Etapa 4.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.5.1

Multiplique $11$ por $3$ .

$K = \frac{33 - 40}{3}$

Etapa 4.3.5.2

Subtraia $40$ de $33$ .

$K = \frac{- 7}{3}$

Etapa 4.3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$K = - \frac{7}{3}$

Etapa 5

Substitua $- \frac{7}{3}$ por $K$ em $f = \frac{5}{3} {(11 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $- \frac{7}{3}$ por $K$ .

$f = \frac{5}{3} {(11 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} - \frac{7}{3}$

Etapa 5.2

Combine $\frac{5}{3}$ e ${(11 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f = \frac{5 {(11 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{7}{3}$

Etapa 5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f = \frac{5 {(11 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} - 7}{3}$