Cálculo Exemplos

$\frac{d^{2} s}{d t^{2}} = \sin (3 t) + \cos (3 t)$

Etapa 1

Integre os dois lados com relação a $t$ .

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Etapa 1.1

A primeira derivada é igual à integral da segunda derivada com relação a $t$ .

$\frac{d s}{d t} = \int \sin (3 t) + \cos (3 t) d t$

Etapa 1.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{d s}{d t} = \int \sin (3 t) d t + \int \cos (3 t) d t$

Etapa 1.3

Deixe $u_{1} = 3 t$ . Depois, $d u_{1} = 3 d t$ , então, $\frac{1}{3} d u_{1} = d t$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 1.3.1

Deixe $u_{1} = 3 t$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

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Etapa 1.3.1.1

Diferencie $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Etapa 1.3.1.2

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3 t$ em relação a $t$ é $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 1.3.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 1.3.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\frac{d s}{d t} = \int \sin (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1} + \int \cos (3 t) d t$

Etapa 1.4

Combine $\sin (u_{1})$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d s}{d t} = \int \frac{\sin (u_{1})}{3} d u_{1} + \int \cos (3 t) d t$

Etapa 1.5

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \cos (3 t) d t$

Etapa 1.6

A integral de $\sin (u_{1})$ com relação a $u_{1}$ é $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \int \cos (3 t) d t$

Etapa 1.7

Deixe $u_{2} = 3 t$ . Depois, $d u_{2} = 3 d t$ , então, $\frac{1}{3} d u_{2} = d t$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 1.7.1

Deixe $u_{2} = 3 t$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Etapa 1.7.1.1

Diferencie $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Etapa 1.7.1.2

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3 t$ em relação a $t$ é $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 1.7.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 1.7.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

Etapa 1.8

Combine $\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \int \frac{\cos (u_{2})}{3} d u_{2}$

Etapa 1.9

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \frac{1}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 1.10

A integral de $\cos (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $\sin (u_{2})$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \frac{1}{3} (\sin (u_{2}) + C_{2})$

Etapa 1.11

Simplifique.

$\frac{d s}{d t} = - \frac{\cos (u_{1})}{3} + \frac{1}{3} \sin (u_{2}) + C_{3}$

Etapa 1.12

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 1.12.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 t$ .

$\frac{d s}{d t} = - \frac{\cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3} \sin (u_{2}) + C_{3}$

Etapa 1.12.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 t$ .

$\frac{d s}{d t} = - \frac{\cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3}$

Etapa 1.13

Reordene os termos.

$\frac{d s}{d t} = - \frac{1}{3} \cos (3 t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3}$

Etapa 2

Reescreva a equação.

$d s = (- \frac{1}{3} \cos (3 t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3}) d t$

Etapa 3

Integre os dois lados.

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Etapa 3.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d s = \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3} d t$

Etapa 3.2

Aplique a regra da constante.

$s + C_{4} = \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3} d t$

Etapa 3.3

Integre o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$s + C_{4} = \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) d t + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Etapa 3.3.2

Como $- \frac{1}{3}$ é constante com relação a $t$ , mova $- \frac{1}{3}$ para fora da integral.

$s + C_{4} = - \frac{1}{3} \int \cos (3 t) d t + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Etapa 3.3.3

Deixe $u_{3} = 3 t$ . Depois, $d u_{3} = 3 d t$ , então, $\frac{1}{3} d u_{3} = d t$ . Reescreva usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

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Etapa 3.3.3.1

Deixe $u_{3} = 3 t$ . Encontre $\frac{d u_{3}}{d t}$ .

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Etapa 3.3.3.1.1

Diferencie $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Etapa 3.3.3.1.2

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3 t$ em relação a $t$ é $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 3.3.3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 3.3.3.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 3.3.3.2

Reescreva o problema usando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{3} \int \cos (u_{3}) \frac{1}{3} d u_{3} + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Etapa 3.3.4

Combine $\cos (u_{3})$ e $\frac{1}{3}$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{3} \int \frac{\cos (u_{3})}{3} d u_{3} + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Etapa 3.3.5

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{3}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$s + C_{4} = - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \cos (u_{3}) d u_{3}) + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Etapa 3.3.6

Simplifique.

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Etapa 3.3.6.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \cos (u_{3}) d u_{3} + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Etapa 3.3.6.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} \int \cos (u_{3}) d u_{3} + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Etapa 3.3.7

A integral de $\cos (u_{3})$ com relação a $u_{3}$ é $\sin (u_{3})$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Etapa 3.3.8

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3} \int \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Etapa 3.3.9

Deixe $u_{4} = 3 t$ . Depois, $d u_{4} = 3 d t$ , então, $\frac{1}{3} d u_{4} = d t$ . Reescreva usando $u_{4}$ e $d$ $u_{4}$ .

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Etapa 3.3.9.1

Deixe $u_{4} = 3 t$ . Encontre $\frac{d u_{4}}{d t}$ .

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Etapa 3.3.9.1.1

Diferencie $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Etapa 3.3.9.1.2

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3 t$ em relação a $t$ é $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 3.3.9.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 3.3.9.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 3.3.9.2

Reescreva o problema usando $u_{4}$ e $d u_{4}$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3} \int \sin (u_{4}) \frac{1}{3} d u_{4} + \int C_{3} d t$

Etapa 3.3.10

Combine $\sin (u_{4})$ e $\frac{1}{3}$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3} \int \frac{\sin (u_{4})}{3} d u_{4} + \int C_{3} d t$

Etapa 3.3.11

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{4}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \sin (u_{4}) d u_{4}) + \int C_{3} d t$

Etapa 3.3.12

Simplifique.

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Etapa 3.3.12.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3 \cdot 3} \int \sin (u_{4}) d u_{4} + \int C_{3} d t$

Etapa 3.3.12.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{9} \int \sin (u_{4}) d u_{4} + \int C_{3} d t$

Etapa 3.3.13

A integral de $\sin (u_{4})$ com relação a $u_{4}$ é $- \cos (u_{4})$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{9} (- \cos (u_{4}) + C_{6}) + \int C_{3} d t$

Etapa 3.3.14

Aplique a regra da constante.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{9} (- \cos (u_{4}) + C_{6}) + C_{3} t + C_{7}$

Etapa 3.3.15

Simplifique.

$s + C_{4} = - \frac{\sin (u_{3})}{9} - \frac{\cos (u_{4})}{9} + C_{3} t + C_{8}$

Etapa 3.3.16

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 3.3.16.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $3 t$ .

$s + C_{4} = - \frac{\sin (3 t)}{9} - \frac{\cos (u_{4})}{9} + C_{3} t + C_{8}$

Etapa 3.3.16.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{4}$ por $3 t$ .

$s + C_{4} = - \frac{\sin (3 t)}{9} - \frac{\cos (3 t)}{9} + C_{3} t + C_{8}$

Etapa 3.3.17

Reordene os termos.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} \sin (3 t) - \frac{1}{9} \cos (3 t) + C_{3} t + C_{8}$

Etapa 3.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $D$ .

$s = - \frac{1}{9} \sin (3 t) - \frac{1}{9} \cos (3 t) + C t + D$