Cálculo Exemplos

Solve $(x + y) d y = (x - y) d x$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial para ajustá-la à técnica de equação diferencial exata.

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Etapa 1.1

Subtraia $(x - y) d x$ dos dois lados da equação.

$(x + y) d y - (x - y) d x = 0$

Etapa 1.2

Reescreva.

$- (x - y) d x + (x + y) d y = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = - (x - y)$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x - y)]$

Etapa 2.2

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- (x - y)$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [x - y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x - y]$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y])$

Etapa 2.4

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (0 + \frac{d}{d y} [- y])$

Etapa 2.5

Some $0$ e $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 2.6

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - - \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.7

Multiplique.

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Etapa 2.7.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.7.2

Multiplique $\frac{d}{d y} [y]$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Etapa 3

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x + y$ .

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Etapa 3.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + y]$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.4

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 0$

Etapa 3.5

Some $1$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Etapa 4

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = 1$

Etapa 4.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$1 = 1$ é uma identidade.

Etapa 5

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (x - y) d x$

Etapa 6

Integre $M (x, y) = - (x - y)$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 6.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$f (x, y) = - \int x - y d x$

Etapa 6.2

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = - (\int x d x + \int - y d x)$

Etapa 6.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - y d x)$

Etapa 6.4

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C - y x + C)$

Etapa 6.5

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{x^{2}}{2} + C - y x + C)$

Etapa 6.6

Simplifique.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + C$

Etapa 7

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + g (y)$

Etapa 8

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x + y$

Etapa 9

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 9.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [- (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + g (y)] = x + y$

Etapa 9.2

Diferencie usando a regra da soma.

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Etapa 9.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{2}}{2} - y x) + g (y)] = x + y$

Etapa 9.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- (\frac{x^{2}}{2} - y x) + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{2}}{2} - y x)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{2}}{2} - y x)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Etapa 9.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- (\frac{x^{2}}{2} - y x)]$ .

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Etapa 9.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- (\frac{x^{2}}{2} - y x)$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2} - y x]$ .

$- \frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2} - y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Etapa 9.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x^{2}}{2} - y x$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [- y x]$ .

$- (\frac{d}{d y} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [- y x]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Etapa 9.3.3

Como $\frac{x^{2}}{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{x^{2}}{2}$ em relação a $y$ é $0$ .

$- (0 + \frac{d}{d y} [- y x]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Etapa 9.3.4

Como $- x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y x$ em relação a $y$ é $- x \frac{d}{d y} [y]$ .

$- (0 - x \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Etapa 9.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- (0 - x \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Etapa 9.3.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- (0 - x) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Etapa 9.3.7

Subtraia $x$ de $0$ .

$- - x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Etapa 9.3.8

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Etapa 9.3.9

Multiplique $x$ por $1$ .

$x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x + y$

Etapa 9.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$x + \frac{d g}{d y} = x + y$

Etapa 9.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} + x = x + y$

Etapa 10

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 10.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d y}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 10.1.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = x + y - x$

Etapa 10.1.2

Combine os termos opostos em $x + y - x$ .

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Etapa 10.1.2.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{d g}{d y} = y + 0$

Etapa 10.1.2.2

Some $y$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y$

Etapa 11

Encontre a antiderivada de $y$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 11.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y d y$

Etapa 11.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y d y$

Etapa 11.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y^{2} + C$

Etapa 12

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + g (y)$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} - y x) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Etapa 13

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{x^{2}}{2} - y x) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Etapa 13.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} - (- y x) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Etapa 13.3

Multiplique $- (- y x)$ .

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Etapa 13.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + 1 (y x) + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Etapa 13.3.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + y x + \frac{1}{2} y^{2} + C$

Etapa 13.4

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + y x + \frac{y^{2}}{2} + C$