Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{{(x + 2)}^{2} e^{y - 1}}$ , $y (3) = 1$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{e^{y - 1}}$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $e^{y - 1}$ .

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = e^{y - 1} (\frac{5}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{e^{y - 1}})$

Etapa 1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Combine.

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = e^{y - 1} \frac{5 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2} e^{y - 1}}$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum de $e^{y - 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Fatore $e^{y - 1}$ de ${(x + 2)}^{2} e^{y - 1}$ .

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = e^{y - 1} \frac{5 \cdot 1}{e^{y - 1} {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = e^{y - 1} \frac{5 \cdot 1}{e^{y - 1} {(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{5 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.3.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{5}{{(x + 2)}^{2}}$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$e^{y - 1} d y = \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int e^{y - 1} d y = \int \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Deixe $u_{1} = y - 1$ . Depois, $d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Deixe $u_{1} = y - 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Etapa 2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 2.2.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 2.2.1.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 1$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.2.1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} d x$

Etapa 2.2.2

A integral de $e^{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $e^{u_{1}}$ .

$e^{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} d x$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y - 1$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = \int \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 \int \frac{1}{{(x + 2)}^{2}} d x$

Etapa 2.3.2

Deixe $u_{2} = x + 2$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Deixe $u_{2} = x + 2$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Etapa 2.3.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.2.1.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.3.2.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.3

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Mova ${u_{2}}^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Etapa 2.3.3.2

Multiplique os expoentes em ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Etapa 2.3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{- 2}$ com relação a $u_{2}$ é $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Reescreva $5 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$ como $5 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$

Etapa 2.3.5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = - 5 \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.5.2.2

Combine $- 5$ e $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = \frac{- 5}{u_{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.5.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{y - 1} + C_{1} = - \frac{5}{u_{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.6

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x + 2$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = - \frac{5}{x + 2} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$e^{y - 1} = - \frac{5}{x + 2} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{y - 1}) = \ln (\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2})$

Etapa 3.2

Expanda o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Expanda $\ln (e^{y - 1})$ movendo $y - 1$ para fora do logaritmo.

$(y - 1) \ln (e) = \ln (\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2})$

Etapa 3.2.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$(y - 1) \cdot 1 = \ln (\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2})$

Etapa 3.2.3

Multiplique $y - 1$ por $1$ .

$y - 1 = \ln (\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2})$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique $\ln (\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Divida a fração $\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2}$ em duas frações.

$y - 1 = \ln (\frac{- 5 + K x}{x + 2} + \frac{2 K}{x + 2})$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.2.1

Divida a fração $\frac{- 5 + K x}{x + 2}$ em duas frações.

$y - 1 = \ln (\frac{- 5}{x + 2} + \frac{K x}{x + 2} + \frac{2 K}{x + 2})$

Etapa 3.3.1.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y - 1 = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{K x}{x + 2} + \frac{2 K}{x + 2})$

Etapa 3.4

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{K x}{x + 2} + \frac{2 K}{x + 2}) + 1$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{K x}{x + 2} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

Etapa 5

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $3$ por $x$ e $1$ por $y$ em $y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{K x}{x + 2} + \frac{K}{x + 2}) + 1$ .

$1 = \ln (- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2}) + 1$

Etapa 6

Resolva $K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Reescreva a equação como $\ln (- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2}) + 1 = 1$ .

$\ln (- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2}) + 1 = 1$

Etapa 6.2

Mova todos os termos que não contêm $\ln (- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2})$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\ln (- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2}) = 1 - 1$

Etapa 6.2.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\ln (- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2}) = 0$

Etapa 6.3

Para resolver $K$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2})} = e^{0}$

Etapa 6.4

Reescreva $\ln (- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2}) = 0$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = - \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2}$

Etapa 6.5

Resolva $K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Reescreva a equação como $- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2} = e^{0}$ .

$- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2} = e^{0}$

Etapa 6.5.2

Simplifique $- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 5 + K \cdot 3 + K}{3 + 2} = e^{0}$

Etapa 6.5.2.2

Mova $3$ para a esquerda de $K$ .

$\frac{- 5 + 3 K + K}{3 + 2} = e^{0}$

Etapa 6.5.2.3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.3.1

Some $3 K$ e $K$ .

$\frac{- 5 + 4 K}{3 + 2} = e^{0}$

Etapa 6.5.2.3.2

Some $3$ e $2$ .

$\frac{- 5 + 4 K}{5} = e^{0}$

Etapa 6.5.2.3.3

Reescreva $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$\frac{- 1 (5) + 4 K}{5} = e^{0}$

Etapa 6.5.2.3.4

Fatore $- 1$ de $4 K$ .

$\frac{- 1 (5) - (- 4 K)}{5} = e^{0}$

Etapa 6.5.2.3.5

Fatore $- 1$ de $- 1 (5) - (- 4 K)$ .

$\frac{- 1 (5 - 4 K)}{5} = e^{0}$

Etapa 6.5.2.3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{5 - 4 K}{5} = e^{0}$

Etapa 6.5.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$- \frac{5 - 4 K}{5} = 1$

Etapa 6.5.4

Multiplique os dois lados da equação por $- 5$ .

$- 5 (- \frac{5 - 4 K}{5}) = - 5 \cdot 1$

Etapa 6.5.5

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.5.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.5.1.1

Simplifique $- 5 (- \frac{5 - 4 K}{5})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.5.1.1.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.5.1.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{5 - 4 K}{5}$ para o numerador.

$- 5 \frac{- (5 - 4 K)}{5} = - 5 \cdot 1$

Etapa 6.5.5.1.1.1.2

Fatore $5$ de $- 5$ .

$5 (- 1) \frac{- (5 - 4 K)}{5} = - 5 \cdot 1$

Etapa 6.5.5.1.1.1.3

Cancele o fator comum.

$5 \cdot - 1 \frac{- (5 - 4 K)}{5} = - 5 \cdot 1$

Etapa 6.5.5.1.1.1.4

Reescreva a expressão.

$- - (5 - 4 K) = - 5 \cdot 1$

Etapa 6.5.5.1.1.2

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.5.1.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (5 - 4 K) = - 5 \cdot 1$

Etapa 6.5.5.1.1.2.2

Multiplique $5 - 4 K$ por $1$ .

$5 - 4 K = - 5 \cdot 1$

Etapa 6.5.5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.5.2.1

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$5 - 4 K = - 5$

Etapa 6.5.6

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.6.1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$- 4 K = - 5 - 5$

Etapa 6.5.6.2

Subtraia $5$ de $- 5$ .

$- 4 K = - 10$

Etapa 6.5.7

Divida cada termo em $- 4 K = - 10$ por $- 4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.7.1

Divida cada termo em $- 4 K = - 10$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 K}{- 4} = \frac{- 10}{- 4}$

Etapa 6.5.7.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.7.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 K}{- 4} = \frac{- 10}{- 4}$

Etapa 6.5.7.2.1.2

Divida $K$ por $1$ .

$K = \frac{- 10}{- 4}$

Etapa 6.5.7.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.7.3.1

Cancele o fator comum de $- 10$ e $- 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.7.3.1.1

Fatore $- 2$ de $- 10$ .

$K = \frac{- 2 (5)}{- 4}$

Etapa 6.5.7.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.7.3.1.2.1

Fatore $- 2$ de $- 4$ .

$K = \frac{- 2 \cdot 5}{- 2 \cdot 2}$

Etapa 6.5.7.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$K = \frac{- 2 \cdot 5}{- 2 \cdot 2}$

Etapa 6.5.7.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$K = \frac{5}{2}$

Etapa 7

Substitua $\frac{5}{2}$ por $K$ em $y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{K x}{x + 2} + \frac{K}{x + 2}) + 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua $\frac{5}{2}$ por $K$ .

$y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{\frac{5}{2} x}{x + 2} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

Etapa 7.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Combine $\frac{5}{2}$ e $x$ .

$y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{\frac{5 x}{2}}{x + 2} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{5 x}{2} \cdot \frac{1}{x + 2} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $\frac{5 x}{2}$ por $\frac{1}{x + 2}$ .

$y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{5 x}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

Etapa 7.2.2

Para escrever $- \frac{5}{x + 2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \ln (- \frac{5}{x + 2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{5 x}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

Etapa 7.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(x + 2) \cdot 2$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Multiplique $\frac{5}{x + 2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = \ln (- \frac{5 \cdot 2}{(x + 2) \cdot 2} + \frac{5 x}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

Etapa 7.2.3.2

Reordene os fatores de $(x + 2) \cdot 2$ .

$y = \ln (- \frac{5 \cdot 2}{2 (x + 2)} + \frac{5 x}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

Etapa 7.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \ln (\frac{- 5 \cdot 2 + 5 x}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

Etapa 7.2.5

Multiplique $- 5$ por $2$ .

$y = \ln (\frac{- 10 + 5 x}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

Etapa 7.2.6

Fatore $5$ de $- 10 + 5 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.6.1

Fatore $5$ de $- 10$ .

$y = \ln (\frac{5 \cdot - 2 + 5 x}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

Etapa 7.2.6.2

Fatore $5$ de $5 \cdot - 2 + 5 x$ .

$y = \ln (\frac{5 (- 2 + x)}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

Etapa 7.2.7

Para escrever $\frac{K}{x + 2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \ln (\frac{5 (- 2 + x)}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2} \cdot \frac{2}{2}) + 1$

Etapa 7.2.8

Escreva cada expressão com um denominador comum de $2 (x + 2)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.8.1

Multiplique $\frac{K}{x + 2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$y = \ln (\frac{5 (- 2 + x)}{2 (x + 2)} + \frac{K \cdot 2}{(x + 2) \cdot 2}) + 1$

Etapa 7.2.8.2

Reordene os fatores de $(x + 2) \cdot 2$ .

$y = \ln (\frac{5 (- 2 + x)}{2 (x + 2)} + \frac{K \cdot 2}{2 (x + 2)}) + 1$

Etapa 7.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \ln (\frac{5 (- 2 + x) + K \cdot 2}{2 (x + 2)}) + 1$

Etapa 7.2.10

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \ln (\frac{5 \cdot - 2 + 5 x + K \cdot 2}{2 (x + 2)}) + 1$

Etapa 7.2.10.2

Multiplique $5$ por $- 2$ .

$y = \ln (\frac{- 10 + 5 x + K \cdot 2}{2 (x + 2)}) + 1$

Etapa 7.2.10.3

Mova $2$ para a esquerda de $K$ .

$y = \ln (\frac{- 10 + 5 x + 2 K}{2 (x + 2)}) + 1$