Cálculo Exemplos

$x^{2} \frac{d y}{d x} = 6 x^{4} + 5 x + 5$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $x^{2} \frac{d y}{d x} = 6 x^{4} + 5 x + 5$ por $x^{2}$ e simplifique.

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Etapa 1.1.1

Divida cada termo em $x^{2} \frac{d y}{d x} = 6 x^{4} + 5 x + 5$ por $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{6 x^{4}}{x^{2}} + \frac{5 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 1.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{6 x^{4}}{x^{2}} + \frac{5 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{4}}{x^{2}} + \frac{5 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}$

Etapa 1.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{4}$ e $x^{2}$ .

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Etapa 1.1.3.1.1.1

Fatore $x^{2}$ de $6 x^{4}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (6 x^{2})}{x^{2}} + \frac{5 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}$

Etapa 1.1.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.1.3.1.1.2.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (6 x^{2})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{5 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}$

Etapa 1.1.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (6 x^{2})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{5 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}$

Etapa 1.1.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{1} + \frac{5 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}$

Etapa 1.1.3.1.1.2.4

Divida $6 x^{2}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{2} + \frac{5 x}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}$

Etapa 1.1.3.1.2

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

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Etapa 1.1.3.1.2.1

Fatore $x$ de $5 x$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{2} + \frac{x \cdot 5}{x^{2}} + \frac{5}{x^{2}}$

Etapa 1.1.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.1.3.1.2.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{2} + \frac{x \cdot 5}{x \cdot x} + \frac{5}{x^{2}}$

Etapa 1.1.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{2} + \frac{x \cdot 5}{x \cdot x} + \frac{5}{x^{2}}$

Etapa 1.1.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{2} + \frac{5}{x} + \frac{5}{x^{2}}$

Etapa 1.2

Reescreva a equação.

$d y = (6 x^{2} + \frac{5}{x} + \frac{5}{x^{2}}) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int 6 x^{2} + \frac{5}{x} + \frac{5}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int 6 x^{2} + \frac{5}{x} + \frac{5}{x^{2}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \int 6 x^{2} d x + \int \frac{5}{x} d x + \int \frac{5}{x^{2}} d x$

Etapa 2.3.2

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 6 \int x^{2} d x + \int \frac{5}{x} d x + \int \frac{5}{x^{2}} d x$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int \frac{5}{x} d x + \int \frac{5}{x^{2}} d x$

Etapa 2.3.4

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 5 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{5}{x^{2}} d x$

Etapa 2.3.5

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) + \int \frac{5}{x^{2}} d x$

Etapa 2.3.6

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) + 5 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 2.3.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.7.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) + 5 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 2.3.7.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.2.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 6 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) + 5 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 2.3.7.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.7.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 6 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) + 5 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 2.3.7.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = 6 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) + 5 \int x^{- 2} d x$

Etapa 2.3.8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$y + C_{1} = 6 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) + 5 (- x^{- 1} + C_{4})$

Etapa 2.3.9

Simplifique.

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Etapa 2.3.9.1

Simplifique.

$y + C_{1} = 2 x^{3} + 5 \ln (| x |) + 5 (- x^{- 1}) + C_{5}$

Etapa 2.3.9.2

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$y + C_{1} = 2 x^{3} + 5 \ln (| x |) - 5 x^{- 1} + C_{5}$

Etapa 2.3.10

Reordene os termos.

$y + C_{1} = 2 x^{3} - 5 x^{- 1} + 5 \ln (| x |) + C_{5}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$y = 2 x^{3} - 5 x^{- 1} + 5 \ln (| x |) + C$