Cálculo Exemplos

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + (\cos (x)) y = 5 \sin (x^{2})$

Etapa 1

Verifique se o lado esquerdo da equação é o resultado da derivada do termo $\sin (x) y$ .

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = y$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\sin (x) y' + y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\sin (x) y' + y \cos (x)$

Etapa 1.4

Substitua $\frac{d y}{d x}$ por $y'$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos (x)$

Etapa 2

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] = 5 \sin (x^{2})$

Etapa 3

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\sin (x) y] d x = \int 5 \sin (x^{2}) d x$

Etapa 4

Integre o lado esquerdo.

$\sin (x) y = \int 5 \sin (x^{2}) d x$

Etapa 5

Integre o lado direito.

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Etapa 5.1

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$\sin (x) y = 5 \int \sin (x^{2}) d x$

Etapa 5.2

$\int \sin (x^{2}) d x$ é uma integral especial. A integral é a função integral de Fresnel.

$\sin (x) y = 5 (S (x) + C)$

Etapa 5.3

Simplifique.

$\sin (x) y = 5 S (x) + C$

Etapa 6

Divida cada termo em $\sin (x) y = 5 S x + C$ por $\sin (x)$ e simplifique.

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Etapa 6.1

Divida cada termo em $\sin (x) y = 5 S x + C$ por $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{5 S x}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ .

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Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{5 S x}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Etapa 6.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{5 S x}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Etapa 6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.3.1.1

Separe as frações.

$y = \frac{5 S x}{\sin (x)} + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Etapa 6.3.1.2

Converta de $\frac{1}{\sin (x)}$ em $\csc (x)$ .

$y = \frac{5 S x}{\sin (x)} + \frac{C}{1} \csc (x)$

Etapa 6.3.1.3

Divida $C$ por $1$ .

$y = \frac{5 S x}{\sin (x)} + C \csc (x)$