Cálculo Exemplos

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + 3 x (y - 1) = 0$ , $y (0) = 6$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Resolva $\frac{d y}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 1 \frac{d y}{d x} + 3 x (y - 1) = 0$

Etapa 1.1.1.2

Multiplique $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 3 x (y - 1) = 0$

Etapa 1.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 3 x y + 3 x \cdot - 1 = 0$

Etapa 1.1.1.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} + 3 x y - 3 x = 0$

Etapa 1.1.2

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d y}{d x}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Subtraia $3 x y$ dos dois lados da equação.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} - 3 x = - 3 x y$

Etapa 1.1.2.2

Some $3 x$ aos dois lados da equação.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} = - 3 x y + 3 x$

Etapa 1.1.3

Fatore $\frac{d y}{d x}$ de $x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Fatore $\frac{d y}{d x}$ de $x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = - 3 x y + 3 x$

Etapa 1.1.3.2

Eleve $\frac{d y}{d x}$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = - 3 x y + 3 x$

Etapa 1.1.3.3

Fatore $\frac{d y}{d x}$ de ${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1 = - 3 x y + 3 x$

Etapa 1.1.3.4

Fatore $\frac{d y}{d x}$ de $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - 3 x y + 3 x$

Etapa 1.1.4

Divida cada termo em $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - 3 x y + 3 x$ por $x^{2} + 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Divida cada termo em $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = - 3 x y + 3 x$ por $x^{2} + 1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{- 3 x y}{x^{2} + 1} + \frac{3 x}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{- 3 x y}{x^{2} + 1} + \frac{3 x}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.4.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 3 x y}{x^{2} + 1} + \frac{3 x}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 3 x y + 3 x}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.4.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.3.2.1

Fatore $3 x$ de $- 3 x y + 3 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.3.2.1.1

Fatore $3 x$ de $- 3 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- 1 y) + 3 x}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.4.3.2.1.2

Fatore $3 x$ de $3 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- 1 y) + 3 x (1)}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.4.3.2.1.3

Fatore $3 x$ de $3 x (- 1 y) + 3 x (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- 1 y + 1)}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.4.3.2.2

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- y + 1)}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.4.3.3

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.3.3.1

Fatore $- 1$ de $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- (y) + 1)}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.4.3.3.2

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- (y) - 1 (- 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.4.3.3.3

Fatore $- 1$ de $- (y) - 1 (- 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- (y - 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.4.3.3.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.3.3.4.1

Reescreva $- (y - 1)$ como $- 1 (y - 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x (- 1 (y - 1))}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.1.4.3.3.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{(3 x) (y - 1)}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.2

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x}{x^{2} + 1} (y - 1)$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y - 1}$ .

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y - 1} (- \frac{3 x}{x^{2} + 1} (y - 1))$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y - 1} (\frac{3 x}{x^{2} + 1} (y - 1))$

Etapa 1.4.2

Cancele o fator comum de $y - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{y - 1}$ para o numerador.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y - 1} (\frac{3 x}{x^{2} + 1} (y - 1))$

Etapa 1.4.2.2

Fatore $y - 1$ de $\frac{3 x}{x^{2} + 1} (y - 1)$ .

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y - 1} ((y - 1) \frac{3 x}{x^{2} + 1})$

Etapa 1.4.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y - 1} ((y - 1) \frac{3 x}{x^{2} + 1})$

Etapa 1.4.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y - 1} \frac{d y}{d x} = - \frac{3 x}{x^{2} + 1}$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y - 1} d y = - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y - 1} d y = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Deixe $u_{1} = y - 1$ . Depois, $d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Deixe $u_{1} = y - 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Etapa 2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 2.2.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 2.2.1.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 1$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.2.1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y - 1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.3.2

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - (3 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.3.4

Deixe $u_{2} = x^{2} + 1$ . Depois, $d u_{2} = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1

Deixe $u_{2} = x^{2} + 1$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1.1

Diferencie $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 2.3.4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.4.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 2.3.4.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 2.3.4.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Multiplique $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Etapa 2.3.5.2

Mova $2$ para a esquerda de $u_{2}$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 3$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = \frac{- 3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.7.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.8

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Etapa 2.3.9

Simplifique.

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Etapa 2.3.10

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{2} + 1$ .

$\ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y - 1 |) = - \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.1

Combine $\ln (| x^{2} + 1 |)$ e $\frac{3}{2}$ .

$\ln (| y - 1 |) = - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |) \cdot 3}{2} + C$

Etapa 3.1.1.2

Mova $3$ para a esquerda de $\ln (| x^{2} + 1 |)$ .

$\ln (| y - 1 |) = - \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

Etapa 3.2

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| y - 1 |) + \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Etapa 3.3

Para escrever $\ln (| y - 1 |)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y - 1 |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Etapa 3.4

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Combine $\ln (| y - 1 |)$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y - 1 |) \cdot 2}{2} + \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Etapa 3.4.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\ln (| y - 1 |) \cdot 2 + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Etapa 3.5

Mova $2$ para a esquerda de $\ln (| y - 1 |)$ .

$\frac{2 \ln (| y - 1 |) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Etapa 3.6

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Simplifique $\frac{2 \ln (| y - 1 |) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1.1.1

Simplifique $2 \ln (| y - 1 |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{\ln ({| y - 1 |}^{2}) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Etapa 3.6.1.1.2

Remova o valor absoluto em ${| y - 1 |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$\frac{\ln ({(y - 1)}^{2}) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Etapa 3.6.1.1.3

Simplifique $3 \ln (| x^{2} + 1 |)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$\frac{\ln ({(y - 1)}^{2}) + \ln ({| x^{2} + 1 |}^{3})}{2} = C$

Etapa 3.6.1.1.4

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln ({(y - 1)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})}{2} = C$

Etapa 3.6.1.2

Reescreva $\frac{\ln ({(y - 1)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})}{2}$ como $\frac{1}{2} \ln ({(y - 1)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})$ .

$\frac{1}{2} \ln ({(y - 1)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3}) = C$

Etapa 3.6.1.3

Simplifique $\frac{1}{2} \ln ({(y - 1)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})$ movendo $\frac{1}{2}$ para dentro do logaritmo.

$\ln ({({(y - 1)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Etapa 3.6.1.4

Aplique a regra do produto a ${(y - 1)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3}$ .

$\ln ({({(y - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Etapa 3.6.1.5

Multiplique os expoentes em ${({(y - 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln ({(y - 1)}^{2 (\frac{1}{2})} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Etapa 3.6.1.5.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1.5.2.1

Cancele o fator comum.

$\ln ({(y - 1)}^{2 (\frac{1}{2})} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Etapa 3.6.1.5.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln ({(y - 1)}^{1} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Etapa 3.6.1.6

Simplifique.

$\ln ((y - 1) {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Etapa 3.6.1.7

Multiplique os expoentes em ${({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1.7.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln ((y - 1) {| x^{2} + 1 |}^{3 (\frac{1}{2})}) = C$

Etapa 3.6.1.7.2

Combine $3$ e $\frac{1}{2}$ .

$\ln ((y - 1) {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$

Etapa 3.6.1.8

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - 1 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$

Etapa 3.6.1.9

Reescreva $- 1 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ como $- {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ .

$\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$

Etapa 3.7

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})} = e^{C}$

Etapa 3.8

Reescreva $\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.9

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.1

Reescreva a equação como $y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C}$ .

$y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C}$

Etapa 3.9.2

Some ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ aos dois lados da equação.

$y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C} + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.9.3

Divida cada termo em $y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C} + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ por ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.3.1

Divida cada termo em $y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C} + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ por ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.9.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.9.3.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.9.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.9.3.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{e^{C} + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{C + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 5

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $0$ por $x$ e $6$ por $y$ em $y = \frac{C + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$ .

$6 = \frac{C + {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 6

Resolva $C$ .

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Etapa 6.1

Reescreva a equação como $\frac{C + {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = 6$ .

$\frac{C + {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = 6$

Etapa 6.2

Multiplique os dois lados da equação por ${| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ .

${| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \frac{C + {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 6$

Etapa 6.3

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 6.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.1.1

Simplifique ${| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \frac{C + {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$ .

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Etapa 6.3.1.1.1

Cancele o fator comum de ${| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ .

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Etapa 6.3.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

${| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \frac{C + {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 6$

Etapa 6.3.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$C + {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 6$

Etapa 6.3.1.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.3.1.1.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$C + {| 0 + 1 |}^{\frac{3}{2}} = {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 6$

Etapa 6.3.1.1.2.2

Some $0$ e $1$ .

$C + {| 1 |}^{\frac{3}{2}} = {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 6$

Etapa 6.3.1.1.2.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$C + 1^{\frac{3}{2}} = {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 6$

Etapa 6.3.1.1.2.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$C + 1 = {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 6$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.2.1

Simplifique ${| 0^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 6$ .

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Etapa 6.3.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$C + 1 = {| 0 + 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 6$

Etapa 6.3.2.1.2

Some $0$ e $1$ .

$C + 1 = {| 1 |}^{\frac{3}{2}} \cdot 6$

Etapa 6.3.2.1.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$C + 1 = 1^{\frac{3}{2}} \cdot 6$

Etapa 6.3.2.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$C + 1 = 1 \cdot 6$

Etapa 6.3.2.1.5

Multiplique $6$ por $1$ .

$C + 1 = 6$

Etapa 6.4

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

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Etapa 6.4.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$C = 6 - 1$

Etapa 6.4.2

Subtraia $1$ de $6$ .

$C = 5$

Etapa 7

Substitua $5$ por $C$ em $y = \frac{C + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Substitua $5$ por $C$ .

$y = \frac{5 + {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$