Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 1 + \frac{1}{x}$ , $y (1) = 4$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = (1 + \frac{1}{x}) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int 1 + \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int 1 + \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \int d x + \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = x + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = x + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

$y + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$y = x + \ln (| x |) + C$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $1$ por $x$ e $4$ por $y$ em $y = x + \ln (| x |) + C$ .

$4 = 1 + \ln (| 1 |) + C$

Etapa 4

Resolva $C$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $1 + \ln (| 1 |) + C = 4$ .

$1 + \ln (| 1 |) + C = 4$

Etapa 4.2

Simplifique $1 + \ln (| 1 |) + C$ .

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$1 + \ln (1) + C = 4$

Etapa 4.2.1.2

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$1 + 0 + C = 4$

Etapa 4.2.2

Some $1$ e $0$ .

$1 + C = 4$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.3.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$C = 4 - 1$

Etapa 4.3.2

Subtraia $1$ de $4$ .

$C = 3$

Etapa 5

Substitua $3$ por $C$ em $y = x + \ln (| x |) + C$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $3$ por $C$ .

$y = x + \ln (| x |) + 3$