Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 x}{3 y^{2}}$

Etapa 1

Escreva o problema como uma expressão matemática.

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 x}{3 y^{2}}$

Etapa 2

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Multiplique os dois lados por $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{8 x}{3 y^{2}}$

Etapa 2.2

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore $y^{2}$ de $3 y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{8 x}{y^{2} \cdot 3}$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{8 x}{y^{2} \cdot 3}$

Etapa 2.2.3

Reescreva a expressão.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = \frac{8 x}{3}$

Etapa 2.3

Reescreva a equação.

$y^{2} d y = \frac{8 x}{3} d x$

Etapa 3

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y^{2} d y = \int \frac{8 x}{3} d x$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int \frac{8 x}{3} d x$

Etapa 3.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Como $\frac{8}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{8}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{8}{3} \int x d x$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{8}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Etapa 3.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Reescreva $\frac{8}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $\frac{8}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1

Multiplique $\frac{8}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{8}{3 \cdot 2} x^{2} + C_{2}$

Etapa 3.3.3.2.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{8}{6} x^{2} + C_{2}$

Etapa 3.3.3.2.3

Cancele o fator comum de $8$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.3.1

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2 (4)}{6} x^{2} + C_{2}$

Etapa 3.3.3.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.3.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

Etapa 3.3.3.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3} x^{2} + C_{2}$

Etapa 3.3.3.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{4}{3} x^{2} + C_{2}$

Etapa 3.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{4}{3} x^{2} + K$

Etapa 4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Multiplique os dois lados da equação por $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{4}{3} x^{2} + K)$

Etapa 4.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Simplifique $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{4}{3} x^{2} + K)$

Etapa 4.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{4}{3} x^{2} + K)$

Etapa 4.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{3} = 3 (\frac{4}{3} x^{2} + K)$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique $3 (\frac{4}{3} x^{2} + K)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Combine $\frac{4}{3}$ e $x^{2}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{4 x^{2}}{3} + K)$

Etapa 4.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{3} = 3 \frac{4 x^{2}}{3} + 3 K$

Etapa 4.2.2.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$y^{3} = 3 \frac{4 x^{2}}{3} + 3 K$

Etapa 4.2.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$y^{3} = 4 x^{2} + 3 K$

Etapa 4.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \sqrt[3]{4 x^{2} + 3 K}$

Etapa 5

Simplifique a constante de integração.

$y = \sqrt[3]{4 x^{2} + K}$