Cálculo Exemplos

$y d x - (x + 6 y^{2}) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = y$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = - (x + 6 y^{2})$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x + 6 y^{2})]$

Etapa 2.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- (x + 6 y^{2})$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x + 6 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x + 6 y^{2}]$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 6 y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (1 + \frac{d}{d x} [6 y^{2}])$

Etapa 2.5

Como $6 y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (1 + 0)$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 1$

Etapa 2.6.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = - 1$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$1 = - 1$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $- 1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 4.2

Substitua $1$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 1 - 1}{M}$

Etapa 4.3

Substitua $y$ por $M$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $y$ por $M$ .

$\frac{- 1 - 1}{y}$

Etapa 4.3.2

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$\frac{- 2}{y}$

Etapa 4.3.3

Substitua $y$ por $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

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Etapa 5.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Etapa 5.2

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Etapa 5.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Etapa 5.4

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Etapa 5.5

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Etapa 5.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.6.1

Simplifique $- 2 \ln (| y |)$ movendo $- 2$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Etapa 5.6.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Etapa 5.6.3

Remova o valor absoluto em ${| y |}^{- 2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Etapa 5.6.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $y d x - (x + 6 y^{2}) d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{y^{2}}$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $y$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$y \frac{1}{y^{2}} d x - (x + 6 y^{2}) d y = 0$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 6.2.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$y \frac{1}{y \cdot y} d x - (x + 6 y^{2}) d y = 0$

Etapa 6.2.2

Cancele o fator comum.

$y \frac{1}{y \cdot y} d x - (x + 6 y^{2}) d y = 0$

Etapa 6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} d x - (x + 6 y^{2}) d y = 0$

Etapa 6.3

Multiplique $- (x + 6 y^{2})$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y} d x - (x + 6 y^{2}) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{y} d x + (- x - (6 y^{2})) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 6.5

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$\frac{1}{y} d x + (- x - 6 y^{2}) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 6.6

Multiplique $- x - 6 y^{2}$ por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y} d x + \frac{- x - 6 y^{2}}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 6.7

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{1}{y} d x + \frac{- (x) - 6 y^{2}}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 6.8

Fatore $- 1$ de $- 6 y^{2}$ .

$\frac{1}{y} d x + \frac{- (x) - (6 y^{2})}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 6.9

Fatore $- 1$ de $- (x) - (6 y^{2})$ .

$\frac{1}{y} d x + \frac{- (x + 6 y^{2})}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 6.10

Reescreva $- (x + 6 y^{2})$ como $- 1 (x + 6 y^{2})$ .

$\frac{1}{y} d x + \frac{- 1 (x + 6 y^{2})}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 6.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{y} d x - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}} d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x$

Etapa 8

Integre $M (x, y) = \frac{1}{y}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = \frac{1}{y} x + C$

Etapa 8.2

Combine $\frac{1}{y}$ e $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + g (y)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y} + g (y)] = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x}{y} + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]$ .

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Etapa 11.3.1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{x}{y}$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

Etapa 11.3.2

Reescreva $\frac{1}{y}$ como $y^{- 1}$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

Etapa 11.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$x (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- y^{- 2}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

Etapa 11.5

Simplifique.

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Etapa 11.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

Etapa 11.5.2

Combine $x$ e $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

Etapa 11.5.3

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 12.1

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 12.1.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 12.1.1.1

Some $\frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} + \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x + x + 6 y^{2}}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.3

Some $- x$ e $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + 6 y^{2}}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.4

Some $0$ e $6 y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{6 y^{2}}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.5

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 12.1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{d g}{d y} + \frac{6 y^{2}}{y^{2}} = 0$

Etapa 12.1.1.5.2

Divida $6$ por $1$ .

$\frac{d g}{d y} + 6 = 0$

Etapa 12.1.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = - 6$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $- 6$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = - 6$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 6 d y$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 6 d y$

Etapa 13.3

Aplique a regra da constante.

$g (y) = - 6 y + C$

Etapa 14

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = \frac{x}{y} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} - 6 y + C$