Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} = x \cos (x)$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Some $\frac{1}{x}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} = x \cos (x) + \frac{1}{x}$

Etapa 1.2

Reescreva a equação.

$d y = (x \cos (x) + \frac{1}{x}) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int x \cos (x) + \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int x \cos (x) + \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \int x \cos (x) d x + \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3.2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = \cos (x)$ .

$y + C_{1} = x \sin (x) - \int \sin (x) d x + \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3.3

A integral de $\sin (x)$ com relação a $x$ é $- \cos (x)$ .

$y + C_{1} = x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{2}) + \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3.4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{2}) + \ln (| x |) + C_{3}$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

$y + C_{1} = x \sin (x) + \cos (x) + \ln (| x |) + C_{4}$

Etapa 2.3.6

Reordene os termos.

$y + C_{1} = x \sin (x) + \ln (| x |) + \cos (x) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$y = x \sin (x) + \ln (| x |) + \cos (x) + C$