Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + (a x + b) y = 0$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = a x + b$ .

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Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int a x + b d x}$

Etapa 1.2

Integre $a x + b$ .

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Etapa 1.2.1

Divida a integral única em várias integrais.

$e^{\int a x d x + \int b d x}$

Etapa 1.2.2

Como $a$ é constante com relação a $x$ , mova $a$ para fora da integral.

$e^{a \int x d x + \int b d x}$

Etapa 1.2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{a (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int b d x}$

Etapa 1.2.4

Aplique a regra da constante.

$e^{a (\frac{1}{2} x^{2} + C) + b x + C}$

Etapa 1.2.5

Simplifique.

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Etapa 1.2.5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$e^{a (\frac{x^{2}}{2} + C) + b x + C}$

Etapa 1.2.5.2

Simplifique.

$e^{\frac{1}{2} a x^{2} + b x + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{\frac{1}{2} a x^{2} + b x}$

Etapa 1.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $a$ .

$e^{\frac{a}{2} x^{2} + b x}$

Etapa 1.4.2

Combine $\frac{a}{2}$ e $x^{2}$ .

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ .

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ .

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} ((a x + b) y) = e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \cdot 0$

Etapa 2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (a x y + b y) = e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \cdot 0$

Etapa 2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (a x y) + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (b y) = e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \cdot 0$

Etapa 2.3

Multiplique $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ por $0$ .

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (a x y) + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (b y) = 0$

Etapa 2.4

Reordene os fatores em $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (a x y) + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (b y) = 0$ .

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + a x y e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} + b y e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} = 0$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y] = 0$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y] d x = \int 0 d x$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = \int 0 d x$

Etapa 6

Integre o lado direito.

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Etapa 6.1

A integral de $0$ com relação a $x$ é $0$ .

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = 0 + C$

Etapa 6.2

Some $0$ e $C$ .

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = C$

Etapa 7

Divida cada termo em $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = C$ por $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = C$ por $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ .

$\frac{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}} = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}} = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.3.1.1

Para escrever $b x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x \cdot \frac{2}{2}}}$

Etapa 7.3.1.2

Combine $b x$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + \frac{b x \cdot 2}{2}}}$

Etapa 7.3.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2} + b x \cdot 2}{2}}}$

Etapa 7.3.1.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.3.1.4.1

Fatore $x$ de $a x^{2} + b x \cdot 2$ .

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Etapa 7.3.1.4.1.1

Fatore $x$ de $a x^{2}$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{x (a x) + b x \cdot 2}{2}}}$

Etapa 7.3.1.4.1.2

Fatore $x$ de $b x \cdot 2$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{x (a x) + x (b \cdot 2)}{2}}}$

Etapa 7.3.1.4.1.3

Fatore $x$ de $x (a x) + x (b \cdot 2)$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{x (a x + b \cdot 2)}{2}}}$

Etapa 7.3.1.4.2

Mova $2$ para a esquerda de $b$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{x (a x + 2 b)}{2}}}$