Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = x^{2} - 2 x + 3$ , $y (1) = 4$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = (x^{2} - 2 x + 3) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \int x^{2} d x + \int - 2 x d x + \int 3 d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int - 2 x d x + \int 3 d x$

Etapa 2.3.3

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 2 \int x d x + \int 3 d x$

Etapa 2.3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int 3 d x$

Etapa 2.3.5

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 3 x + C_{4}$

Etapa 2.3.6

Simplifique.

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Etapa 2.3.6.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + 3 x + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2

Simplifique.

$y + C_{1} = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 3 x + C_{5}$

Etapa 2.3.6.3

Reordene os termos.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + 3 x + C_{5}$

Etapa 2.3.7

Reordene os termos.

$y + C_{1} = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + C_{5}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $1$ por $x$ e $4$ por $y$ em $y = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + K$ .

$4 = - 1^{2} + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $- 1^{2} + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K = 4$ .

$- 1^{2} + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K = 4$

Etapa 4.2

Simplifique $- 1^{2} + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K$ .

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K = 4$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K = 4$

Etapa 4.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1 + 3 \cdot 1 + K = 4$

Etapa 4.2.1.4

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$- 1 + \frac{1}{3} + 3 \cdot 1 + K = 4$

Etapa 4.2.1.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$- 1 + \frac{1}{3} + 3 + K = 4$

Etapa 4.2.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3} + 3 + K = 4$

Etapa 4.2.3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3} + 3 + K = 4$

Etapa 4.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3} + 3 + K = 4$

Etapa 4.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{- 3 + 1}{3} + 3 + K = 4$

Etapa 4.2.5.2

Some $- 3$ e $1$ .

$\frac{- 2}{3} + 3 + K = 4$

Etapa 4.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{3} + 3 + K = 4$

Etapa 4.2.7

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3} + K = 4$

Etapa 4.2.8

Combine $3$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3} + K = 4$

Etapa 4.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 2 + 3 \cdot 3}{3} + K = 4$

Etapa 4.2.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.10.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{- 2 + 9}{3} + K = 4$

Etapa 4.2.10.2

Some $- 2$ e $9$ .

$\frac{7}{3} + K = 4$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.3.1

Subtraia $\frac{7}{3}$ dos dois lados da equação.

$K = 4 - \frac{7}{3}$

Etapa 4.3.2

Para escrever $4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$K = 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{7}{3}$

Etapa 4.3.3

Combine $4$ e $\frac{3}{3}$ .

$K = \frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{7}{3}$

Etapa 4.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$K = \frac{4 \cdot 3 - 7}{3}$

Etapa 4.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.5.1

Multiplique $4$ por $3$ .

$K = \frac{12 - 7}{3}$

Etapa 4.3.5.2

Subtraia $7$ de $12$ .

$K = \frac{5}{3}$

Etapa 5

Substitua $\frac{5}{3}$ por $K$ em $y = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $\frac{5}{3}$ por $K$ .

$y = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + \frac{5}{3}$

Etapa 5.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y = - x^{2} + \frac{x^{3}}{3} + 3 x + \frac{5}{3}$