Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = y (4 x^{2} + 5)$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (4 x^{2} + 5))$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (4 x^{2} + 5))$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 4 x^{2} + 5$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y} d y = (4 x^{2} + 5) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 4 x^{2} + 5 d x$

Etapa 2.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 4 x^{2} + 5 d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 4 x^{2} d x + \int 5 d x$

Etapa 2.3.2

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int x^{2} d x + \int 5 d x$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int 5 d x$

Etapa 2.3.4

Aplique a regra da constante.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 5 x + C_{3}$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{x^{3}}{3} + C_{2}) + 5 x + C_{3}$

Etapa 2.3.5.2

Simplifique.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4 x^{3}}{3} + 5 x + C_{4}$

Etapa 2.3.5.3

Reordene os termos.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{3} x^{3} + 5 x + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{4}{3} x^{3} + 5 x + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{4}{3} x^{3} + 5 x + C}$

Etapa 3.2

Reescreva $\ln (| y |) = \frac{4}{3} x^{3} + 5 x + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{4}{3} x^{3} + 5 x + C} = | y |$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $| y | = e^{\frac{4}{3} x^{3} + 5 x + C}$ .

$| y | = e^{\frac{4}{3} x^{3} + 5 x + C}$

Etapa 3.3.2

Combine $\frac{4}{3}$ e $x^{3}$ .

$| y | = e^{\frac{4 x^{3}}{3} + 5 x + C}$

Etapa 3.3.3

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{4 x^{3}}{3} + 5 x + C}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Reescreva $e^{\frac{4 x^{3}}{3} + 5 x + C}$ como $e^{\frac{4 x^{3}}{3} + 5 x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{4 x^{3}}{3} + 5 x} e^{C}$

Etapa 4.2

Reordene $e^{\frac{4 x^{3}}{3} + 5 x}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{4 x^{3}}{3} + 5 x}$

Etapa 4.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C e^{\frac{4 x^{3}}{3} + 5 x}$