Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 7 x^{- 2} + 4 x^{- 1} - 3$ ; , $y (1) = 6$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = (7 x^{- 2} + 4 x^{- 1} - 3) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int 7 x^{- 2} + 4 x^{- 1} - 3 d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int 7 x^{- 2} + 4 x^{- 1} - 3 d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \int 7 x^{- 2} d x + \int 4 x^{- 1} d x + \int - 3 d x$

Etapa 2.3.2

Como $7$ é constante com relação a $x$ , mova $7$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 7 \int x^{- 2} d x + \int 4 x^{- 1} d x + \int - 3 d x$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + \int 4 x^{- 1} d x + \int - 3 d x$

Etapa 2.3.4

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + 4 \int x^{- 1} d x + \int - 3 d x$

Etapa 2.3.5

A integral de $x^{- 1}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + 4 (\ln (| x |) + C_{3}) + \int - 3 d x$

Etapa 2.3.6

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + 4 (\ln (| x |) + C_{3}) - 3 x + C_{4}$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

$y + C_{1} = - \frac{7}{x} + 4 \ln (| x |) - 3 x + C_{5}$

Etapa 2.3.8

Reordene os termos.

$y + C_{1} = - 3 x - \frac{7}{x} + 4 \ln (| x |) + C_{5}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$y = - 3 x - \frac{7}{x} + 4 \ln (| x |) + C$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $1$ por $x$ e $6$ por $y$ em $y = - 3 x - \frac{7}{x} + 4 \ln (| x |) + C$ .

$6 = - 3 \cdot 1 - \frac{7}{1} + 4 \ln (| 1 |) + C$

Etapa 4

Resolva $C$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $- 3 \cdot 1 - \frac{7}{1} + 4 \ln (| 1 |) + C = 6$ .

$- 3 \cdot 1 - \frac{7}{1} + 4 \ln (| 1 |) + C = 6$

Etapa 4.2

Simplifique $- 3 \cdot 1 - \frac{7}{1} + 4 \ln (| 1 |) + C$ .

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$- 3 - \frac{7}{1} + 4 \ln (| 1 |) + C = 6$

Etapa 4.2.1.2

Divida $7$ por $1$ .

$- 3 - 1 \cdot 7 + 4 \ln (| 1 |) + C = 6$

Etapa 4.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$- 3 - 7 + 4 \ln (| 1 |) + C = 6$

Etapa 4.2.1.4

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$- 3 - 7 + 4 \ln (1) + C = 6$

Etapa 4.2.1.5

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$- 3 - 7 + 4 \cdot 0 + C = 6$

Etapa 4.2.1.6

Multiplique $4$ por $0$ .

$- 3 - 7 + 0 + C = 6$

Etapa 4.2.2

Simplifique subtraindo os números.

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Etapa 4.2.2.1

Some $- 3 - 7$ e $0$ .

$- 3 - 7 + C = 6$

Etapa 4.2.2.2

Subtraia $7$ de $- 3$ .

$- 10 + C = 6$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.3.1

Some $10$ aos dois lados da equação.

$C = 6 + 10$

Etapa 4.3.2

Some $6$ e $10$ .

$C = 16$

Etapa 5

Substitua $16$ por $C$ em $y = - 3 x - \frac{7}{x} + 4 \ln (| x |) + C$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $16$ por $C$ .

$y = - 3 x - \frac{7}{x} + 4 \ln (| x |) + 16$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1

Simplifique $4 \ln (| x |)$ movendo $4$ para dentro do logaritmo.

$y = - 3 x - \frac{7}{x} + \ln ({| x |}^{4}) + 16$

Etapa 5.2.2

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{4}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$y = - 3 x - \frac{7}{x} + \ln (x^{4}) + 16$