Cálculo Exemplos

$(15 x y^{2} - 12 y) d x + (10 x^{2} y - 6 x) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 15 x y^{2} - 12 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [15 x y^{2} - 12 y]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $15 x y^{2} - 12 y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [15 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 12 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [15 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 12 y]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [15 x y^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $15 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $15 x y^{2}$ em relação a $y$ é $15 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 15 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 12 y]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 15 x (2 y) + \frac{d}{d y} [- 12 y]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $15$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x y + \frac{d}{d y} [- 12 y]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d y} [- 12 y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $- 12$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 12 y$ em relação a $y$ é $- 12 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x y - 12 \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x y - 12 \cdot 1$

Etapa 1.4.3

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x y - 12$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = 10 x^{2} y - 6 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [10 x^{2} y - 6 x]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $10 x^{2} y - 6 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [10 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [10 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [10 x^{2} y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $10 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 x^{2} y$ em relação a $x$ é $10 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 10 y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 10 y (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $10$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 20 y x + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 20 y x - 6 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 20 y x - 6 \cdot 1$

Etapa 2.4.3

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 20 y x - 6$

Etapa 2.5

Reordene os termos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 20 x y - 6$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $30 x y - 12$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $20 x y - 6$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$30 x y - 12 = 20 x y - 6$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$30 x y - 12 = 20 x y - 6$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $30 x y - 12$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{30 x y - 12 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 4.2

Substitua $20 x y - 6$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{30 x y - 12 - (20 x y - 6)}{N}$

Etapa 4.3

Substitua $10 x^{2} y - 6 x$ por $N$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $10 x^{2} y - 6 x$ por $N$ .

$\frac{30 x y - 12 - (20 x y - 6)}{10 x^{2} y - 6 x}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{30 x y - 12 - (20 x y) - - 6}{10 x^{2} y - 6 x}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $20$ por $- 1$ .

$\frac{30 x y - 12 - 20 (x y) - - 6}{10 x^{2} y - 6 x}$

Etapa 4.3.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 6$ .

$\frac{30 x y - 12 - 20 (x y) + 6}{10 x^{2} y - 6 x}$

Etapa 4.3.2.4

Subtraia $20 x y$ de $30 x y$ .

$\frac{10 x y - 12 + 6}{10 x^{2} y - 6 x}$

Etapa 4.3.2.5

Some $- 12$ e $6$ .

$\frac{10 x y - 6}{10 x^{2} y - 6 x}$

Etapa 4.3.2.6

Fatore $2$ de $10 x y - 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.6.1

Fatore $2$ de $10 x y$ .

$\frac{2 (5 x y) - 6}{10 x^{2} y - 6 x}$

Etapa 4.3.2.6.2

Fatore $2$ de $- 6$ .

$\frac{2 (5 x y) + 2 (- 3)}{10 x^{2} y - 6 x}$

Etapa 4.3.2.6.3

Fatore $2$ de $2 (5 x y) + 2 (- 3)$ .

$\frac{2 (5 x y - 3)}{10 x^{2} y - 6 x}$

Etapa 4.3.3

Fatore $2 x$ de $10 x^{2} y - 6 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Fatore $2 x$ de $10 x^{2} y$ .

$\frac{2 (5 x y - 3)}{2 x (5 x y) - 6 x}$

Etapa 4.3.3.2

Fatore $2 x$ de $- 6 x$ .

$\frac{2 (5 x y - 3)}{2 x (5 x y) + 2 x (- 3)}$

Etapa 4.3.3.3

Fatore $2 x$ de $2 x (5 x y) + 2 x (- 3)$ .

$\frac{2 (5 x y - 3)}{2 x (5 x y - 3)}$

Etapa 4.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (5 x y - 3)}{2 x (5 x y - 3)}$

Etapa 4.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{5 x y - 3}{x (5 x y - 3)}$

Etapa 4.3.5

Cancele o fator comum de $5 x y - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x y - 3}{x (5 x y - 3)}$

Etapa 4.3.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

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Etapa 5.1

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Etapa 5.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.2.1

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Etapa 5.2.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = | x | + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(15 x y^{2} - 12 y) d x + (10 x^{2} y - 6 x) d y = 0$ pelo fator de integração $x$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $15 x y^{2} - 12 y$ por $x$ .

$(15 x y^{2} - 12 y) x d x + (10 x^{2} y - 6 x) d y = 0$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(15 x y^{2} x - 12 y x) d x + (10 x^{2} y - 6 x) d y = 0$

Etapa 6.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.3.1

Mova $x$ .

$(15 (x \cdot x) y^{2} - 12 y x) d x + (10 x^{2} y - 6 x) d y = 0$

Etapa 6.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$(15 x^{2} y^{2} - 12 y x) d x + (10 x^{2} y - 6 x) d y = 0$

Etapa 6.4

Multiplique $10 x^{2} y - 6 x$ por $x$ .

$(15 x^{2} y^{2} - 12 y x) d x + (10 x^{2} y - 6 x) x d y = 0$

Etapa 6.5

Aplique a propriedade distributiva.

$(15 x^{2} y^{2} - 12 y x) d x + (10 x^{2} y x - 6 x \cdot x) d y = 0$

Etapa 6.6

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.6.1

Mova $x$ .

$(15 x^{2} y^{2} - 12 y x) d x + (10 (x \cdot x^{2}) y - 6 x \cdot x) d y = 0$

Etapa 6.6.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 6.6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(15 x^{2} y^{2} - 12 y x) d x + (10 (x^{1} x^{2}) y - 6 x \cdot x) d y = 0$

Etapa 6.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(15 x^{2} y^{2} - 12 y x) d x + (10 x^{1 + 2} y - 6 x \cdot x) d y = 0$

Etapa 6.6.3

Some $1$ e $2$ .

$(15 x^{2} y^{2} - 12 y x) d x + (10 x^{3} y - 6 x \cdot x) d y = 0$

Etapa 6.7

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.7.1

Mova $x$ .

$(15 x^{2} y^{2} - 12 y x) d x + (10 x^{3} y - 6 (x \cdot x)) d y = 0$

Etapa 6.7.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$(15 x^{2} y^{2} - 12 y x) d x + (10 x^{3} y - 6 x^{2}) d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 15 x^{2} y^{2} - 12 y x d x$

Etapa 8

Integre $M (x, y) = 15 x^{2} y^{2} - 12 y x$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int 15 x^{2} y^{2} d x + \int - 12 y x d x$

Etapa 8.2

Como $15 y^{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $15 y^{2}$ para fora da integral.

$f (x, y) = 15 y^{2} \int x^{2} d x + \int - 12 y x d x$

Etapa 8.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 15 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 12 y x d x$

Etapa 8.4

Como $- 12 y$ é constante com relação a $x$ , mova $- 12 y$ para fora da integral.

$f (x, y) = 15 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 12 y \int x d x$

Etapa 8.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 15 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 12 y (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 8.6

Simplifique.

$f (x, y) = 15 \cdot \frac{1}{3} y^{2} x^{3} - 12 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Etapa 8.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.7.1

Combine $15$ e $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{15}{3} y^{2} x^{3} - 12 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Etapa 8.7.2

Cancele o fator comum de $15$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.7.2.1

Fatore $3$ de $15$ .

$f (x, y) = \frac{3 \cdot 5}{3} y^{2} x^{3} - 12 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Etapa 8.7.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.7.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$f (x, y) = \frac{3 \cdot 5}{3 (1)} y^{2} x^{3} - 12 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Etapa 8.7.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 1} y^{2} x^{3} - 12 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Etapa 8.7.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = \frac{5}{1} y^{2} x^{3} - 12 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Etapa 8.7.2.2.4

Divida $5$ por $1$ .

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} - 12 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Etapa 8.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} - 12 y \frac{x^{2}}{2} + C$

Etapa 8.7.4

Combine $- 12$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} + y \frac{- 12 x^{2}}{2} + C$

Etapa 8.7.5

Combine $y$ e $\frac{- 12 x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} + \frac{y (- 12 x^{2})}{2} + C$

Etapa 8.7.6

Cancele o fator comum de $- 12$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.7.6.1

Fatore $2$ de $y (- 12 x^{2})$ .

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} + \frac{2 (y (- 6 x^{2}))}{2} + C$

Etapa 8.7.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.7.6.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} + \frac{2 (y (- 6 x^{2}))}{2 (1)} + C$

Etapa 8.7.6.2.2

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} + \frac{2 (y (- 6 x^{2}))}{2 \cdot 1} + C$

Etapa 8.7.6.2.3

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} + \frac{y (- 6 x^{2})}{1} + C$

Etapa 8.7.6.2.4

Divida $y (- 6 x^{2})$ por $1$ .

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} + y (- 6 x^{2}) + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} + y (- 6 x^{2}) + g (y)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3} + y (- 6 x^{2}) + g (y)] = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 y^{2} x^{3} + y (- 6 x^{2}) + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [y (- 6 x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [y (- 6 x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3}]$ .

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Etapa 11.3.1

Como $5 x^{3}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $5 y^{2} x^{3}$ em relação a $y$ é $5 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$5 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y (- 6 x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

Etapa 11.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$5 x^{3} (2 y) + \frac{d}{d y} [y (- 6 x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

Etapa 11.3.3

Multiplique $2$ por $5$ .

$10 x^{3} y + \frac{d}{d y} [y (- 6 x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

Etapa 11.4

Avalie $\frac{d}{d y} [y (- 6 x^{2})]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.1

Como $- 6 x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $y (- 6 x^{2})$ em relação a $y$ é $- 6 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$10 x^{3} y - 6 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

Etapa 11.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$10 x^{3} y - 6 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

Etapa 11.4.3

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$10 x^{3} y - 6 x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

Etapa 11.5

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$10 x^{3} y - 6 x^{2} + \frac{d g}{d y} = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

Etapa 11.6

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} - 6 x^{2} + 10 x^{3} y = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d y}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Some $6 x^{2}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} + 10 x^{3} y = 10 x^{3} y - 6 x^{2} + 6 x^{2}$

Etapa 12.1.2

Subtraia $10 x^{3} y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = 10 x^{3} y - 6 x^{2} + 6 x^{2} - 10 x^{3} y$

Etapa 12.1.3

Combine os termos opostos em $10 x^{3} y - 6 x^{2} + 6 x^{2} - 10 x^{3} y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.3.1

Some $- 6 x^{2}$ e $6 x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 10 x^{3} y + 0 - 10 x^{3} y$

Etapa 12.1.3.2

Some $10 x^{3} y$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 10 x^{3} y - 10 x^{3} y$

Etapa 12.1.3.3

Subtraia $10 x^{3} y$ de $10 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $0$ para encontrar $g (y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Etapa 13.3

A integral de $0$ com relação a $y$ é $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Etapa 13.4

Some $0$ e $C$ .

$g (y) = C$

Etapa 14

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} + y (- 6 x^{2}) + g (y)$ .

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} + y (- 6 x^{2}) + C$

Etapa 15

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} - 6 y x^{2} + C$