Cálculo Exemplos

$(x^{2} + 3) \frac{d y}{d x} - x = 0$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Resolva $\frac{d y}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 3 \frac{d y}{d x} - x = 0$

Etapa 1.1.2

Some $x$ aos dois lados da equação.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 3 \frac{d y}{d x} = x$

Etapa 1.1.3

Fatore $\frac{d y}{d x}$ de $x^{2} \frac{d y}{d x} + 3 \frac{d y}{d x}$ .

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Etapa 1.1.3.1

Fatore $\frac{d y}{d x}$ de $x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 3 \frac{d y}{d x} = x$

Etapa 1.1.3.2

Fatore $\frac{d y}{d x}$ de $3 \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 3 = x$

Etapa 1.1.3.3

Fatore $\frac{d y}{d x}$ de $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 3$ .

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 3) = x$

Etapa 1.1.4

Divida cada termo em $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 3) = x$ por $x^{2} + 3$ e simplifique.

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Etapa 1.1.4.1

Divida cada termo em $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 3) = x$ por $x^{2} + 3$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3} = \frac{x}{x^{2} + 3}$

Etapa 1.1.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.4.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2} + 3$ .

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Etapa 1.1.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3} = \frac{x}{x^{2} + 3}$

Etapa 1.1.4.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 3}$

Etapa 1.2

Reescreva a equação.

$d y = \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Deixe $u = x^{2} + 3$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.1.1

Deixe $u = x^{2} + 3$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Etapa 2.3.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.3.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.3.1.1.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 2.3.1.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.3.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Etapa 2.3.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

Etapa 2.3.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.3.4

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Etapa 2.3.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 3$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$y = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C$