Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 2 x \sqrt{4 - y^{2}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} (2 x \sqrt{4 - y^{2}})$

Etapa 1.2

Simplifique.

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Etapa 1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Etapa 1.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.2.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{\sqrt{2^{2} - y^{2}}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Etapa 1.2.2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2$ e $b = y$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Etapa 1.2.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}$ por $\frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 (\frac{1}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}} \cdot \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}) (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Etapa 1.2.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 1.2.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}$ por $\frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)} \sqrt{(2 + y) (2 - y)}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Etapa 1.2.4.2

Eleve $\sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1} \sqrt{(2 + y) (2 - y)}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Etapa 1.2.4.3

Eleve $\sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1} {\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Etapa 1.2.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1 + 1}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Etapa 1.2.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{2}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Etapa 1.2.4.6

Reescreva ${\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{2}$ como $(2 + y) (2 - y)$ .

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Etapa 1.2.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ como ${((2 + y) (2 - y))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{({((2 + y) (2 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Etapa 1.2.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{((2 + y) (2 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Etapa 1.2.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{((2 + y) (2 - y))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Etapa 1.2.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{((2 + y) (2 - y))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Etapa 1.2.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{((2 + y) (2 - y))}^{1}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Etapa 1.2.4.6.5

Simplifique.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Etapa 1.2.5

Combine $2$ e $\frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Etapa 1.2.6

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)} (x \sqrt{2^{2} - y^{2}})$

Etapa 1.2.7

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2$ e $b = y$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)} (x \sqrt{(2 + y) (2 - y)})$

Etapa 1.2.8

Multiplique $\frac{2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)} (x \sqrt{(2 + y) (2 - y)})$ .

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Etapa 1.2.8.1

Combine $x$ e $\frac{2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)})}{(2 + y) (2 - y)} \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

Etapa 1.2.8.2

Combine $\frac{x (2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)})}{(2 + y) (2 - y)}$ e $\sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}) \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)}$

Etapa 1.2.8.3

Eleve $\sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (2 ({\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1} \sqrt{(2 + y) (2 - y)}))}{(2 + y) (2 - y)}$

Etapa 1.2.8.4

Eleve $\sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (2 ({\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1} {\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1}))}{(2 + y) (2 - y)}$

Etapa 1.2.8.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (2 {\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1 + 1})}{(2 + y) (2 - y)}$

Etapa 1.2.8.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (2 {\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{2})}{(2 + y) (2 - y)}$

Etapa 1.2.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.9.1

Reescreva ${\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{2}$ como $(2 + y) (2 - y)$ .

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Etapa 1.2.9.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ como ${((2 + y) (2 - y))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 {({((2 + y) (2 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{(2 + y) (2 - y)}$

Etapa 1.2.9.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 {((2 + y) (2 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{(2 + y) (2 - y)}$

Etapa 1.2.9.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 {((2 + y) (2 - y))}^{\frac{2}{2}}}{(2 + y) (2 - y)}$

Etapa 1.2.9.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.9.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 {((2 + y) (2 - y))}^{\frac{2}{2}}}{(2 + y) (2 - y)}$

Etapa 1.2.9.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 {((2 + y) (2 - y))}^{1}}{(2 + y) (2 - y)}$

Etapa 1.2.9.1.5

Simplifique.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 ((2 + y) (2 - y))}{(2 + y) (2 - y)}$

Etapa 1.2.9.2

Expanda $(2 + y) (2 - y)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.9.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2 (2 - y) + y (2 - y))}{(2 + y) (2 - y)}$

Etapa 1.2.9.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2 \cdot 2 + 2 (- y) + y (2 - y))}{(2 + y) (2 - y)}$

Etapa 1.2.9.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2 \cdot 2 + 2 (- y) + y \cdot 2 + y (- y))}{(2 + y) (2 - y)}$

Etapa 1.2.9.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.2.9.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.9.3.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 + 2 (- y) + y \cdot 2 + y (- y))}{(2 + y) (2 - y)}$

Etapa 1.2.9.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 - 2 y + y \cdot 2 + y (- y))}{(2 + y) (2 - y)}$

Etapa 1.2.9.3.1.3

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 - 2 y + 2 \cdot y + y (- y))}{(2 + y) (2 - y)}$

Etapa 1.2.9.3.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 - 2 y + 2 y - y \cdot y)}{(2 + y) (2 - y)}$

Etapa 1.2.9.3.1.5

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 1.2.9.3.1.5.1

Mova $y$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 - 2 y + 2 y - (y \cdot y))}{(2 + y) (2 - y)}$

Etapa 1.2.9.3.1.5.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 - 2 y + 2 y - y^{2})}{(2 + y) (2 - y)}$

Etapa 1.2.9.3.2

Some $- 2 y$ e $2 y$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 + 0 - y^{2})}{(2 + y) (2 - y)}$

Etapa 1.2.9.3.3

Some $4$ e $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 - y^{2})}{(2 + y) (2 - y)}$

Etapa 1.2.9.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2^{2} - y^{2})}{(2 + y) (2 - y)}$

Etapa 1.2.9.5

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2$ e $b = y$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2 + y) (2 - y)}{(2 + y) (2 - y)}$

Etapa 1.2.10

Cancele o fator comum de $2 + y$ .

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Etapa 1.2.10.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2 + y) (2 - y)}{(2 + y) (2 - y)}$

Etapa 1.2.10.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2 - y)}{2 - y}$

Etapa 1.2.11

Cancele o fator comum de $2 - y$ .

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Etapa 1.2.11.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2 - y)}{2 - y}$

Etapa 1.2.11.2

Divida $x \cdot 2$ por $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = x \cdot 2$

Etapa 1.2.12

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 x$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} d y = 2 x d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} d y = \int 2 x d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{2^{2} - y^{2}}} d y = \int 2 x d x$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{\sqrt{2^{2} - y^{2}}}$ com relação a $y$ é $\arcsin (\frac{y}{2})$

$\arcsin (\frac{y}{2}) + C_{1} = \int 2 x d x$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\arcsin (\frac{y}{2}) + C_{1}$ como $\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1}$ .

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \int 2 x d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = 2 \int x d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Etapa 2.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.3.3.1

Reescreva $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.3.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\arcsin (\frac{1}{2} y) = x^{2} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Obtenha o arco seno inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do arco seno.

$\frac{1}{2} y = \sin (x^{2} + K)$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y$ .

$\frac{y}{2} = \sin (x^{2} + K)$

Etapa 3.3

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 \sin (x^{2} + K)$

Etapa 3.4

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{y}{2} = 2 \sin (x^{2} + K)$

Etapa 3.4.1.2

Reescreva a expressão.

$y = 2 \sin (x^{2} + K)$