Cálculo Exemplos

$\frac{d x}{d t} = \frac{9}{x}$ , $x (0) = 9$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $x$ .

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{9}{x}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{9}{x}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$x \frac{d x}{d t} = 9$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$x d x = 9 d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int x d x = \int 9 d t$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int 9 d t$

Etapa 2.3

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = 9 t + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} x^{2} = 9 t + K$

Etapa 3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}) = 2 (9 t + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} x^{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (9 t + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (9 t + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{2} = 2 (9 t + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique $2 (9 t + K)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} = 2 (9 t) + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.2

Multiplique $9$ por $2$ .

$x^{2} = 18 t + 2 K$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{18 t + 2 K}$

Etapa 3.4

Fatore $2$ de $18 t + 2 K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Fatore $2$ de $18 t$ .

$x = \pm \sqrt{2 (9 t) + 2 K}$

Etapa 3.4.2

Fatore $2$ de $2 K$ .

$x = \pm \sqrt{2 (9 t) + 2 K}$

Etapa 3.4.3

Fatore $2$ de $2 (9 t) + 2 K$ .

$x = \pm \sqrt{2 (9 t + K)}$

Etapa 3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{2 (9 t + K)}$

Etapa 3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{2 (9 t + K)}$

Etapa 3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = - \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = - \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = - \sqrt{2 (9 t + K)}$

Etapa 4

Como $x$ é positivo na condição inicial $(0, 9)$ , considere apenas $x = \sqrt{2 (9 t + K)}$ para encontrar $K$ . Substitua $0$ por $t$ e $9$ por $x$ .

$9 = \sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)}$

Etapa 5

Resolva $K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Reescreva a equação como $\sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)} = 9$ .

$\sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)} = 9$

Etapa 5.2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)}}^{2} = 9^{2}$

Etapa 5.3

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)}$ como ${(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 9^{2}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Simplifique ${({(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^{2}$

Etapa 5.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^{2}$

Etapa 5.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(2 (9 \cdot 0 + K))}^{1} = 9^{2}$

Etapa 5.3.2.1.2

Multiplique $9$ por $0$ .

${(2 (0 + K))}^{1} = 9^{2}$

Etapa 5.3.2.1.3

Some $0$ e $K$ .

${(2 K)}^{1} = 9^{2}$

Etapa 5.3.2.1.4

Simplifique.

$2 K = 9^{2}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$2 K = 81$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $2 K = 81$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $2 K = 81$ por $2$ .

$\frac{2 K}{2} = \frac{81}{2}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 K}{2} = \frac{81}{2}$

Etapa 5.4.2.1.2

Divida $K$ por $1$ .

$K = \frac{81}{2}$

Etapa 6

Substitua $\frac{81}{2}$ por $K$ em $x = \sqrt{2 (9 t + K)}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua $\frac{81}{2}$ por $K$ .

$x = \sqrt{2 (9 t + \frac{81}{2})}$

Etapa 6.2

Fatore $9$ de $9 t + \frac{81}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Fatore $9$ de $9 t$ .

$x = \sqrt{2 (9 (t) + \frac{81}{2})}$

Etapa 6.2.2

Fatore $9$ de $\frac{81}{2}$ .

$x = \sqrt{2 (9 t + 9 (\frac{9}{2}))}$

Etapa 6.2.3

Fatore $9$ de $9 t + 9 (\frac{9}{2})$ .

$x = \sqrt{2 (9 (t + \frac{9}{2}))}$

$x = \sqrt{2 \cdot 9 (t + \frac{9}{2})}$

Etapa 6.3

Multiplique $2$ por $9$ .

$x = \sqrt{18 (t + \frac{9}{2})}$

Etapa 6.4

Para escrever $t$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = \sqrt{18 (t \cdot \frac{2}{2} + \frac{9}{2})}$

Etapa 6.5

Combine $t$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \sqrt{18 (\frac{t \cdot 2}{2} + \frac{9}{2})}$

Etapa 6.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \sqrt{18 \frac{t \cdot 2 + 9}{2}}$

Etapa 6.7

Mova $2$ para a esquerda de $t$ .

$x = \sqrt{18 \frac{2 t + 9}{2}}$

Etapa 6.8

Combine $18$ e $\frac{2 t + 9}{2}$ .

$x = \sqrt{\frac{18 (2 t + 9)}{2}}$

Etapa 6.9

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.9.1

Reduza a expressão $\frac{18 (2 t + 9)}{2}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.9.1.1

Fatore $2$ de $18 (2 t + 9)$ .

$x = \sqrt{\frac{2 (9 (2 t + 9))}{2}}$

Etapa 6.9.1.2

Fatore $2$ de $2$ .

$x = \sqrt{\frac{2 (9 (2 t + 9))}{2 (1)}}$

Etapa 6.9.1.3

Cancele o fator comum.

$x = \sqrt{\frac{2 (9 (2 t + 9))}{2 \cdot 1}}$

Etapa 6.9.1.4

Reescreva a expressão.

$x = \sqrt{\frac{9 (2 t + 9)}{1}}$

Etapa 6.9.2

Divida $9 (2 t + 9)$ por $1$ .

$x = \sqrt{9 (2 t + 9)}$

Etapa 6.10

Reescreva $9 (2 t + 9)$ como $3^{2} (2 t + 3^{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.10.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \sqrt{3^{2} (2 t + 9)}$

Etapa 6.10.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \sqrt{3^{2} (2 t + 3^{2})}$

Etapa 6.11

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = 3 \sqrt{2 t + 3^{2}}$

Etapa 6.12

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$x = 3 \sqrt{2 t + 9}$