Cálculo Exemplos

$(3 x^{2} + 6 x y^{2}) d x + (6 x^{2} y + 4 y^{2}) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 3 x^{2} + 6 x y^{2}$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} + 6 x y^{2}]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} + 6 x y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [6 x y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [6 x y^{2}]$

Etapa 1.2.2

Como $3 x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [6 x y^{2}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [6 x y^{2}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $6 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $6 x y^{2}$ em relação a $y$ é $6 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 6 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 6 x (2 y)$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $6$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 12 x y$

Etapa 1.4

Some $0$ e $12 x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x y$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = 6 x^{2} y + 4 y^{2}$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x^{2} y + 4 y^{2}]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x^{2} y + 4 y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [6 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{2} y]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $6 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{2} y$ em relação a $x$ é $6 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y (2 x) + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $6$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 y x + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Etapa 2.4

Como $4 y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 y x + 0$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Some $12 y x$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 y x$

Etapa 2.5.2

Reordene os fatores de $12 y x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 12 x y$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $12 x y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $12 x y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$12 x y = 12 x y$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$12 x y = 12 x y$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} + 6 x y^{2} d x$

Etapa 5

Integre $M (x, y) = 3 x^{2} + 6 x y^{2}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} d x + \int 6 x y^{2} d x$

Etapa 5.2

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$f (x, y) = 3 \int x^{2} d x + \int 6 x y^{2} d x$

Etapa 5.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 6 x y^{2} d x$

Etapa 5.4

Como $6 y^{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $6 y^{2}$ para fora da integral.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 6 y^{2} \int x d x$

Etapa 5.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 6 y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 5.6

Simplifique.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + 6 y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 5.7

Simplifique.

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Etapa 5.7.1

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{3} x^{3} + 6 y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 5.7.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.7.2.1

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = \frac{3}{3} x^{3} + 6 y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 5.7.2.2

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = 1 x^{3} + 6 y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 5.7.3

Multiplique $x^{3}$ por $1$ .

$f (x, y) = x^{3} + 6 y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 5.7.4

Combine $6$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} + y^{2} \frac{6}{2} x^{2} + C$

Etapa 5.7.5

Combine $y^{2}$ e $\frac{6}{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{y^{2} \cdot 6}{2} x^{2} + C$

Etapa 5.7.6

Mova $6$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{6 \cdot y^{2}}{2} x^{2} + C$

Etapa 5.7.7

Multiplique $6$ por $y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{6 y^{2}}{2} x^{2} + C$

Etapa 5.7.8

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

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Etapa 5.7.8.1

Fatore $2$ de $6 y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{2 (3 y^{2})}{2} x^{2} + C$

Etapa 5.7.8.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.7.8.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{2 (3 y^{2})}{2 (1)} x^{2} + C$

Etapa 5.7.8.2.2

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = x^{3} + \frac{2 (3 y^{2})}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Etapa 5.7.8.2.3

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = x^{3} + \frac{3 y^{2}}{1} x^{2} + C$

Etapa 5.7.8.2.4

Divida $3 y^{2}$ por $1$ .

$f (x, y) = x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + g (y)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 6 x^{2} y + 4 y^{2}$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + g (y)] = 6 x^{2} y + 4 y^{2}$

Etapa 8.2

Diferencie.

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Etapa 8.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y + 4 y^{2}$

Etapa 8.2.2

Como $x^{3}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x^{3}$ em relação a $y$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [3 y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y + 4 y^{2}$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d y} [3 y^{2} x^{2}]$ .

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Etapa 8.3.1

Como $3 x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 y^{2} x^{2}$ em relação a $y$ é $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y + 4 y^{2}$

Etapa 8.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + 3 x^{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y + 4 y^{2}$

Etapa 8.3.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$0 + 6 x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = 6 x^{2} y + 4 y^{2}$

Etapa 8.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 6 x^{2} y + \frac{d g}{d y} = 6 x^{2} y + 4 y^{2}$

Etapa 8.5

Simplifique.

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Etapa 8.5.1

Some $0$ e $6 x^{2} y$ .

$6 x^{2} y + \frac{d g}{d y} = 6 x^{2} y + 4 y^{2}$

Etapa 8.5.2

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} + 6 x^{2} y = 6 x^{2} y + 4 y^{2}$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 9.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d y}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1.1

Subtraia $6 x^{2} y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = 6 x^{2} y + 4 y^{2} - 6 x^{2} y$

Etapa 9.1.2

Combine os termos opostos em $6 x^{2} y + 4 y^{2} - 6 x^{2} y$ .

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Etapa 9.1.2.1

Subtraia $6 x^{2} y$ de $6 x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 y^{2} + 0$

Etapa 9.1.2.2

Some $4 y^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 4 y^{2}$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $4 y^{2}$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = 4 y^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 4 y^{2} d y$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 4 y^{2} d y$

Etapa 10.3

Como $4$ é constante com relação a $y$ , mova $4$ para fora da integral.

$g (y) = 4 \int y^{2} d y$

Etapa 10.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = 4 (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Etapa 10.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 10.5.1

Reescreva $4 (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ como $4 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$ .

$g (y) = 4 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$

Etapa 10.5.2

Combine $4$ e $\frac{1}{3}$ .

$g (y) = \frac{4}{3} y^{3} + C$

Etapa 11

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + \frac{4}{3} y^{3} + C$

Etapa 12

Combine $\frac{4}{3}$ e $y^{3}$ .

$f (x, y) = x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + \frac{4 y^{3}}{3} + C$