Cálculo Exemplos

$\frac{d v}{d t} = \frac{3}{t \sqrt{t^{2} - 1}}$ , $v (2) = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d v = \frac{3}{t \sqrt{t^{2} - 1}} d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d v = \int \frac{3}{t \sqrt{t^{2} - 1}} d t$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$v + C_{1} = \int \frac{3}{t \sqrt{t^{2} - 1}} d t$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $3$ é constante com relação a $t$ , mova $3$ para fora da integral.

$v + C_{1} = 3 \int \frac{1}{t \sqrt{t^{2} - 1}} d t$

Etapa 2.3.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$v + C_{1} = 3 \int \frac{1}{t \sqrt{t^{2} - 1^{2}}} d t$

Etapa 2.3.3

A integral de $\frac{1}{t \sqrt{t^{2} - 1^{2}}}$ com relação a $t$ é $arcsec (| t |)$

$v + C_{1} = 3 (arcsec (| t |) + C_{2})$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

$v + C_{1} = 3 arcsec (| t |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$v = 3 arcsec (| t |) + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $2$ por $t$ e $0$ por $v$ em $v = 3 arcsec (| t |) + K$ .

$0 = 3 arcsec (| 2 |) + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Reescreva a equação como $3 arcsec (| 2 |) + K = 0$ .

$3 arcsec (| 2 |) + K = 0$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$3 arcsec (2) + K = 0$

Etapa 4.2.1.2

O valor exato de $arcsec (2)$ é $\frac{π}{3}$ .

$3 \frac{π}{3} + K = 0$

Etapa 4.2.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{π}{3} + K = 0$

Etapa 4.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$π + K = 0$

Etapa 4.3

Subtraia $π$ dos dois lados da equação.

$K = - π$

Etapa 5

Substitua $- π$ por $K$ em $v = 3 arcsec (| t |) + K$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua $- π$ por $K$ .

$v = 3 arcsec (| t |) - π$