Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d t} = \frac{8 t^{2}}{9 y}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{8 t^{2}}{9 y}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore $y$ de $9 y$ .

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{8 t^{2}}{y \cdot 9}$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum.

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{8 t^{2}}{y \cdot 9}$

Etapa 1.2.3

Reescreva a expressão.

$y \frac{d y}{d t} = \frac{8 t^{2}}{9}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$y d y = \frac{8 t^{2}}{9} d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y d y = \int \frac{8 t^{2}}{9} d t$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{8 t^{2}}{9} d t$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $\frac{8}{9}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{8}{9}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{8}{9} \int t^{2} d t$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t^{2}$ com relação a $t$ é $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{8}{9} (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$

Etapa 2.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Reescreva $\frac{8}{9} (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$ como $\frac{8}{9} \cdot \frac{1}{3} t^{3} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{3} t^{3} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1

Multiplique $\frac{8}{9}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{8}{9 \cdot 3} t^{3} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2

Multiplique $9$ por $3$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{8}{27} t^{3} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{8}{27} t^{3} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{8}{27} t^{3} + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{8}{27} t^{3} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{8}{27} t^{3} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 2 (\frac{8}{27} t^{3} + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique $2 (\frac{8}{27} t^{3} + K)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Combine $\frac{8}{27}$ e $t^{3}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{8 t^{3}}{27} + K)$

Etapa 3.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = 2 \frac{8 t^{3}}{27} + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.3

Multiplique $2 \frac{8 t^{3}}{27}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.3.1

Combine $2$ e $\frac{8 t^{3}}{27}$ .

$y^{2} = \frac{2 (8 t^{3})}{27} + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.3.2

Multiplique $8$ por $2$ .

$y^{2} = \frac{16 t^{3}}{27} + 2 K$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{\frac{16 t^{3}}{27} + 2 K}$

Etapa 3.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{16 t^{3}}{27} + 2 K}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Fatore $2$ de $\frac{16 t^{3}}{27} + 2 K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1

Fatore $2$ de $\frac{16 t^{3}}{27}$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{8 t^{3}}{27} + 2 K}$

Etapa 3.4.1.2

Fatore $2$ de $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{8 t^{3}}{27} + 2 K}$

Etapa 3.4.1.3

Fatore $2$ de $2 \frac{8 t^{3}}{27} + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{8 t^{3}}{27} + K)}$

Etapa 3.4.2

Para escrever $K$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{27}{27}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{8 t^{3}}{27} + K \cdot \frac{27}{27})}$

Etapa 3.4.3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Combine $K$ e $\frac{27}{27}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{8 t^{3}}{27} + \frac{K \cdot 27}{27})}$

Etapa 3.4.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{8 t^{3} + K \cdot 27}{27}}$

Etapa 3.4.4

Mova $27$ para a esquerda de $K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{8 t^{3} + 27 K}{27}}$

Etapa 3.4.5

Combine $2$ e $\frac{8 t^{3} + 27 K}{27}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (8 t^{3} + 27 K)}{27}}$

Etapa 3.4.6

Reescreva $\frac{2 (8 t^{3} + 27 K)}{27}$ como ${(\frac{1}{3})}^{2} \frac{2 (8 t^{3} + 27 K)}{3}$ .

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Etapa 3.4.6.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $2 (8 t^{3} + 27 K)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (8 t^{3} + 27 K))}{27}}$

Etapa 3.4.6.2

Fatore a potência perfeita $3^{2}$ de $27$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (8 t^{3} + 27 K))}{3^{2} \cdot 3}}$

Etapa 3.4.6.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} (2 (8 t^{3} + 27 K))}{3^{2} \cdot 3}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} \frac{2 (8 t^{3} + 27 K)}{3}}$

Etapa 3.4.7

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{\frac{2 (8 t^{3} + 27 K)}{3}}$

Etapa 3.4.8

Reescreva $\sqrt{\frac{2 (8 t^{3} + 27 K)}{3}}$ como $\frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}}{\sqrt{3}}$

Etapa 3.4.9

Combine.

$y = \pm \frac{1 \sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}}{3 \sqrt{3}}$

Etapa 3.4.10

Multiplique $\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}$ por $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}}{3 \sqrt{3}}$

Etapa 3.4.11

Multiplique $\frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}}{3 \sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}}{3 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 3.4.12

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 3.4.12.1

Multiplique $\frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}}{3 \sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 3.4.12.2

Mova $\sqrt{3}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Etapa 3.4.12.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}$

Etapa 3.4.12.4

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}$

Etapa 3.4.12.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 3.4.12.6

Some $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 {\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 3.4.12.7

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 3.4.12.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 3.4.12.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 3.4.12.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.4.12.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.12.7.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 3.4.12.7.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{1}}$

Etapa 3.4.12.7.5

Avalie o expoente.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 \cdot 3}$

Etapa 3.4.13

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.13.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K) \cdot 3}}{3 \cdot 3}$

Etapa 3.4.13.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{3 \cdot 3}$

Etapa 3.4.14

Multiplique $3$ por $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

Etapa 3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

Etapa 3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

Etapa 3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

$y = \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

$y = \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + K)}}{9}$