Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 2 y + 2$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{2 y + 2}$ .

$\frac{1}{2 y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y + 2} (2 y + 2)$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $2 y + 2$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2 y + 2} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 y + 2} (2 y + 2)$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2 y + 2} \frac{d y}{d x} = 1$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{2 y + 2} d y = 1 d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{2 y + 2} d y = \int d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Deixe $u = 2 y + 2$ . Depois, $d u = 2 d y$ , então, $\frac{1}{2} d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = 2 y + 2$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $2 y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 2]$

Etapa 2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 y + 2$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [2]$

Etapa 2.2.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Etapa 2.2.1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Etapa 2.2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [2]$

Etapa 2.2.1.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [2]$

Etapa 2.2.1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.2.1.1.4.1

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2$ em relação a $y$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 2.2.1.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int d x$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.2.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int d x$

Etapa 2.2.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int d x$

Etapa 2.2.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Etapa 2.2.4

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

Etapa 2.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 y + 2$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 2 |) + C_{1} = \int d x$

Etapa 2.3

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 2 |) + C_{1} = x + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 2 |) = x + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 2 |)) = 2 (x + C)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y + 2 |))$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (| 2 y + 2 |)$ .

$2 \frac{\ln (| 2 y + 2 |)}{2} = 2 (x + C)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{\ln (| 2 y + 2 |)}{2} = 2 (x + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| 2 y + 2 |) = 2 (x + C)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| 2 y + 2 |) = 2 x + 2 C$

Etapa 3.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| 2 y + 2 |)} = e^{2 x + 2 C}$

Etapa 3.4

Reescreva $\ln (| 2 y + 2 |) = 2 x + 2 C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 x + 2 C} = | 2 y + 2 |$

Etapa 3.5

Resolva $y$ .

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Etapa 3.5.1

Reescreva a equação como $| 2 y + 2 | = e^{2 x + 2 C}$ .

$| 2 y + 2 | = e^{2 x + 2 C}$

Etapa 3.5.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$2 y + 2 = \pm e^{2 x + 2 C}$

Etapa 3.5.3

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$2 y = \pm e^{2 x + 2 C} - 2$

Etapa 3.5.4

Divida cada termo em $2 y = \pm e^{2 x + 2 C} - 2$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.5.4.1

Divida cada termo em $2 y = \pm e^{2 x + 2 C} - 2$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{2 x + 2 C}}{2} + \frac{- 2}{2}$

Etapa 3.5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{2 x + 2 C}}{2} + \frac{- 2}{2}$

Etapa 3.5.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{2 x + 2 C}}{2} + \frac{- 2}{2}$

Etapa 3.5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.5.4.3.1

Divida $- 2$ por $2$ .

$y = \frac{\pm e^{2 x + 2 C}}{2} - 1$

Etapa 3.5.4.3.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\pm e^{2 x + 2 C}}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 3.5.4.3.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\pm e^{2 x + 2 C}}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.5.4.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\pm e^{2 x + 2 C} - 1 \cdot 2}{2}$

Etapa 3.5.4.3.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y = \frac{\pm e^{2 x + 2 C} - 2}{2}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\pm e^{2 x + C} - 2}{2}$

Etapa 4.2

Reescreva $e^{2 x + C}$ como $e^{2 x} e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{2 x} e^{C} - 2}{2}$

Etapa 4.3

Reordene $e^{2 x}$ e $e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{C} e^{2 x} - 2}{2}$

Etapa 4.4

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = \frac{C e^{2 x} - 2}{2}$