Cálculo Exemplos

$(15 x^{2} y^{2} - y^{4}) d x + (10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 15 x^{2} y^{2} - y^{4}$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [15 x^{2} y^{2} - y^{4}]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $15 x^{2} y^{2} - y^{4}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [15 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{4}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [15 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{4}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [15 x^{2} y^{2}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $15 x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $15 x^{2} y^{2}$ em relação a $y$ é $15 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 15 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{4}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 15 x^{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [- y^{4}]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $15$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x^{2} y + \frac{d}{d y} [- y^{4}]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d y} [- y^{4}]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y^{4}$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x^{2} y - \frac{d}{d y} [y^{4}]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x^{2} y - (4 y^{3})$

Etapa 1.4.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x^{2} y - 4 y^{3}$

Etapa 1.5

Reordene os termos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 4 y^{3} + 30 x^{2} y$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [10 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [10 x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [10 x^{3} y]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $10 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 x^{3} y$ em relação a $x$ é $10 y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 10 y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 10 y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $3$ por $10$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x y^{3}]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $- 4 y^{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x y^{3}$ em relação a $x$ é $- 4 y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} - 4 y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} - 4 y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

Etapa 2.4.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} - 4 y^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 y^{4}]$

Etapa 2.5

Como $- 5 y^{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 y^{4}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} - 4 y^{3} + 0$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Some $30 y x^{2} - 4 y^{3}$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 30 y x^{2} - 4 y^{3}$

Etapa 2.6.2

Reordene os termos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 4 y^{3} + 30 x^{2} y$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $- 4 y^{3} + 30 x^{2} y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 4 y^{3} + 30 x^{2} y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 4 y^{3} + 30 x^{2} y = - 4 y^{3} + 30 x^{2} y$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$- 4 y^{3} + 30 x^{2} y = - 4 y^{3} + 30 x^{2} y$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 15 x^{2} y^{2} - y^{4} d x$

Etapa 5

Integre $M (x, y) = 15 x^{2} y^{2} - y^{4}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int 15 x^{2} y^{2} d x + \int - y^{4} d x$

Etapa 5.2

Como $15 y^{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $15 y^{2}$ para fora da integral.

$f (x, y) = 15 y^{2} \int x^{2} d x + \int - y^{4} d x$

Etapa 5.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 15 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - y^{4} d x$

Etapa 5.4

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = 15 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - y^{4} x + C$

Etapa 5.5

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$f (x, y) = 15 y^{2} (\frac{x^{3}}{3} + C) - y^{4} x + C$

Etapa 5.6

Simplifique.

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} - y^{4} x + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} - y^{4} x + g (y)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3} - y^{4} x + g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 y^{2} x^{3} - y^{4} x + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3}]$ .

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Etapa 8.3.1

Como $5 x^{3}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $5 y^{2} x^{3}$ em relação a $y$ é $5 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$5 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Etapa 8.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$5 x^{3} (2 y) + \frac{d}{d y} [- y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Etapa 8.3.3

Multiplique $2$ por $5$ .

$10 x^{3} y + \frac{d}{d y} [- y^{4} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Etapa 8.4

Avalie $\frac{d}{d y} [- y^{4} x]$ .

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Etapa 8.4.1

Como $- x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y^{4} x$ em relação a $y$ é $- x \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$10 x^{3} y - x \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Etapa 8.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$10 x^{3} y - x (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Etapa 8.4.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$10 x^{3} y - 4 x y^{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Etapa 8.5

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$10 x^{3} y - 4 x y^{3} + \frac{d g}{d y} = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Etapa 8.6

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} + 10 x^{3} y - 4 y^{3} x = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4}$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 9.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d y}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1.1

Subtraia $10 x^{3} y$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} - 4 y^{3} x = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4} - 10 x^{3} y$

Etapa 9.1.2

Some $4 y^{3} x$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = 10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4} - 10 x^{3} y + 4 y^{3} x$

Etapa 9.1.3

Combine os termos opostos em $10 x^{3} y - 4 x y^{3} - 5 y^{4} - 10 x^{3} y + 4 y^{3} x$ .

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Etapa 9.1.3.1

Subtraia $10 x^{3} y$ de $10 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d y} = - 4 x y^{3} - 5 y^{4} + 0 + 4 y^{3} x$

Etapa 9.1.3.2

Some $- 4 x y^{3} - 5 y^{4}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 4 x y^{3} - 5 y^{4} + 4 y^{3} x$

Etapa 9.1.3.3

Reorganize os fatores nos termos $- 4 x y^{3}$ e $4 y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d y} = - 4 y^{3} x - 5 y^{4} + 4 y^{3} x$

Etapa 9.1.3.4

Some $- 4 y^{3} x$ e $4 y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d y} = - 5 y^{4} + 0$

Etapa 9.1.3.5

Some $- 5 y^{4}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 5 y^{4}$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $- 5 y^{4}$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = - 5 y^{4}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 5 y^{4} d y$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 5 y^{4} d y$

Etapa 10.3

Como $- 5$ é constante com relação a $y$ , mova $- 5$ para fora da integral.

$g (y) = - 5 \int y^{4} d y$

Etapa 10.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{4}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$g (y) = - 5 (\frac{1}{5} y^{5} + C)$

Etapa 10.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 10.5.1

Reescreva $- 5 (\frac{1}{5} y^{5} + C)$ como $- 5 (\frac{1}{5}) y^{5} + C$ .

$g (y) = - 5 (\frac{1}{5}) y^{5} + C$

Etapa 10.5.2

Simplifique.

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Etapa 10.5.2.1

Combine $- 5$ e $\frac{1}{5}$ .

$g (y) = \frac{- 5}{5} y^{5} + C$

Etapa 10.5.2.2

Cancele o fator comum de $- 5$ e $5$ .

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Etapa 10.5.2.2.1

Fatore $5$ de $- 5$ .

$g (y) = \frac{5 \cdot - 1}{5} y^{5} + C$

Etapa 10.5.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 10.5.2.2.2.1

Fatore $5$ de $5$ .

$g (y) = \frac{5 \cdot - 1}{5 (1)} y^{5} + C$

Etapa 10.5.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$g (y) = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 1} y^{5} + C$

Etapa 10.5.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$g (y) = \frac{- 1}{1} y^{5} + C$

Etapa 10.5.2.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$g (y) = - y^{5} + C$

Etapa 11

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} - y^{4} x + g (y)$ .

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} - y^{4} x - y^{5} + C$