Cálculo Exemplos

$e^{- y} d x + (1 - x e^{- y}) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = e^{- y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [e^{- y}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{u} \frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{- y} \frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{- y} (- 1 \cdot 1)$

Etapa 1.3.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = e^{- y} \cdot - 1$

Etapa 1.3.3.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot e^{- y}$

Etapa 1.3.3.3

Reescreva $- 1 e^{- y}$ como $- e^{- y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - e^{- y}$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = 1 - x e^{- y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [1 - x e^{- y}]$

Etapa 2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x e^{- y}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x e^{- y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x e^{- y}]$

Etapa 2.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- x e^{- y}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x e^{- y}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- e^{- y}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x e^{- y}$ em relação a $x$ é $- e^{- y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - e^{- y} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - e^{- y} \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - e^{- y}$

Etapa 2.4

Subtraia $e^{- y}$ de $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - e^{- y}$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $- e^{- y}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- e^{- y}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- e^{- y} = - e^{- y}$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$- e^{- y} = - e^{- y}$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{- y} d x$

Etapa 5

Integre $M (x, y) = e^{- y}$ para encontrar $f (x, y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = e^{- y} x + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = e^{- y} x + g (y)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 1 - x e^{- y}$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [e^{- y} x + g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{- y} x + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [e^{- y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{- y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d y} [e^{- y} x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $e^{- y} x$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [e^{- y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [e^{- y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Etapa 8.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Etapa 8.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [- y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Etapa 8.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- y$ .

$x (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Etapa 8.3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Etapa 8.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Etapa 8.3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$x (e^{- y} \cdot - 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Etapa 8.3.6

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- y}$ .

$x (- 1 \cdot e^{- y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Etapa 8.3.7

Reescreva $- 1 e^{- y}$ como $- e^{- y}$ .

$x (- e^{- y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 1 - x e^{- y}$

Etapa 8.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- e^{- y}) + \frac{d g}{d y} = 1 - x e^{- y}$

Etapa 8.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.1

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} - e^{- y} x = 1 - x e^{- y}$

Etapa 8.5.2

Reordene os fatores em $\frac{d g}{d y} - e^{- y} x$ .

$\frac{d g}{d y} - x e^{- y} = 1 - x e^{- y}$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d y}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Some $x e^{- y}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = 1 - x e^{- y} + x e^{- y}$

Etapa 9.1.2

Combine os termos opostos em $1 - x e^{- y} + x e^{- y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.1

Some $- x e^{- y}$ e $x e^{- y}$ .

$\frac{d g}{d y} = 1 + 0$

Etapa 9.1.2.2

Some $1$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 1$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $1$ para encontrar $g (y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int d y$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int d y$

Etapa 10.3

Aplique a regra da constante.

$g (y) = y + C$

Etapa 11

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = e^{- y} x + g (y)$ .

$f (x, y) = e^{- y} x + y + C$

Etapa 12

Reordene os fatores em $f (x, y) = e^{- y} x + y + C$ .

$f (x, y) = x e^{- y} + y + C$