Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d t} = y t^{2} - 1.1 y$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore $y$ de $y t^{2} - 1.1 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Fatore $y$ de $y t^{2}$ .

$\frac{d y}{d t} = y (t^{2}) - 1.1 y$

Etapa 1.1.1.2

Fatore $y$ de $- 1.1 y$ .

$\frac{d y}{d t} = y (t^{2}) + y \cdot - 1.1$

Etapa 1.1.1.3

Fatore $y$ de $y (t^{2}) + y \cdot - 1.1$ .

$\frac{d y}{d t} = y (t^{2} - 1.1)$

Etapa 1.1.2

Reescreva $1.1$ como ${1.04880884}^{2}$ .

$\frac{d y}{d t} = y (t^{2} - {1.04880884}^{2})$

Etapa 1.1.3

Fatore.

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Etapa 1.1.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = t$ e $b = 1.04880884$ .

$\frac{d y}{d t} = y ((t + 1.04880884) (t - 1.04880884))$

Etapa 1.1.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{d y}{d t} = y (t + 1.04880884) (t - 1.04880884)$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y (t + 1.04880884) (t - 1.04880884))$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Fatore $y$ de $y (t + 1.04880884) (t - 1.04880884)$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y ((t + 1.04880884) (t - 1.04880884)))$

Etapa 1.3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y ((t + 1.04880884) (t - 1.04880884)))$

Etapa 1.3.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = (t + 1.04880884) (t - 1.04880884)$

Etapa 1.3.2

Expanda $(t + 1.04880884) (t - 1.04880884)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t (t - 1.04880884) + 1.04880884 (t - 1.04880884)$

Etapa 1.3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t \cdot t + t \cdot - 1.04880884 + 1.04880884 (t - 1.04880884)$

Etapa 1.3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t \cdot t + t \cdot - 1.04880884 + 1.04880884 t + 1.04880884 \cdot - 1.04880884$

Etapa 1.3.3

Combine os termos opostos em $t \cdot t + t \cdot - 1.04880884 + 1.04880884 t + 1.04880884 \cdot - 1.04880884$ .

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Etapa 1.3.3.1

Reorganize os fatores nos termos $t \cdot - 1.04880884$ e $1.04880884 t$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t \cdot t - 1.04880884 t + 1.04880884 t + 1.04880884 \cdot - 1.04880884$

Etapa 1.3.3.2

Some $- 1.04880884 t$ e $1.04880884 t$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t \cdot t + 0 t + 1.04880884 \cdot - 1.04880884$

Etapa 1.3.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.4.1

Multiplique $t$ por $t$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t^{2} + 0 t + 1.04880884 \cdot - 1.04880884$

Etapa 1.3.4.2

Multiplique $0$ por $t$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t^{2} + 0 + 1.04880884 \cdot - 1.04880884$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $1.04880884$ por $- 1.04880884$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t^{2} + 0 - 1.1$

Etapa 1.3.5

Some $t^{2}$ e $0$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t^{2} - 1.1$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y} d y = (t^{2} - 1.1) d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int t^{2} - 1.1 d t$

Etapa 2.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int t^{2} - 1.1 d t$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int t^{2} d t + \int - 1.1 d t$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t^{2}$ com relação a $t$ é $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} t^{3} + C_{2} + \int - 1.1 d t$

Etapa 2.3.3

Aplique a regra da constante.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} t^{3} + C_{2} - 1.1 t + C_{3}$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C}$

Etapa 3.2

Reescreva $\ln (| y |) = \frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C} = | y |$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $| y | = e^{\frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C}$ .

$| y | = e^{\frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C}$

Etapa 3.3.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $t^{3}$ .

$| y | = e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t + C}$

Etapa 3.3.3

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t + C}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Reescreva $e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t + C}$ como $e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t} e^{C}$

Etapa 4.2

Reordene $e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t}$

Etapa 4.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t}$