Cálculo Exemplos

$x (\frac{d y}{d x}) + y = \frac{1}{y^{2}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Resolva $\frac{d y}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$x \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} - y$

Etapa 1.1.2

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} - y$ por $x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} - y$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{y^{2}}}{x} + \frac{- y}{x}$

Etapa 1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{y^{2}}}{x} + \frac{- y}{x}$

Etapa 1.1.2.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{1}{y^{2}}}{x} + \frac{- y}{x}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{1}{x} + \frac{- y}{x}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Combine.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{y^{2} x} + \frac{- y}{x}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} x} + \frac{- y}{x}$

Etapa 1.1.2.3.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} x} - \frac{y}{x}$

Etapa 1.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para escrever $- \frac{y}{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} x} - \frac{y}{x} \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}}$

Etapa 1.2.2

Escreva cada expressão com um denominador comum de $x y^{2}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Multiplique $\frac{y}{x}$ por $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} x} - \frac{y \cdot y^{2}}{x y^{2}}$

Etapa 1.2.2.2

Reordene os fatores de $x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} x} - \frac{y \cdot y^{2}}{y^{2} x}$

Etapa 1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - y \cdot y^{2}}{y^{2} x}$

Etapa 1.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{3} - y \cdot y^{2}}{y^{2} x}$

Etapa 1.2.4.2

Reescreva $y \cdot y^{2}$ como $y^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Multiplique $y$ por $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{3} - (y^{1} y^{2})}{y^{2} x}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{3} - y^{1 + 2}}{y^{2} x}$

Etapa 1.2.4.2.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{3} - y^{3}}{y^{2} x}$

Etapa 1.2.4.3

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = 1$ e $b = y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1^{2} + 1 y + y^{2})}{y^{2} x}$

Etapa 1.2.4.4

Simplifique.

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Etapa 1.2.4.4.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1 + 1 y + y^{2})}{y^{2} x}$

Etapa 1.2.4.4.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1 + y + y^{2})}{y^{2} x}$

Etapa 1.3

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1 + y + y^{2})}{y^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 1.4

Multiplique os dois lados por $\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})}$ .

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} (\frac{(1 - y) (1 + y + y^{2})}{y^{2}} \cdot \frac{1}{x})$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Combine.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \cdot \frac{(1 - y) (1 + y + y^{2}) \cdot 1}{y^{2} x}$

Etapa 1.5.2

Combine.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} ((1 - y) (1 + y + y^{2}) \cdot 1)}{(1 - y) (1 + y + y^{2}) (y^{2} x)}$

Etapa 1.5.3

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 1.5.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} ((1 - y) (1 + y + y^{2}) \cdot 1)}{(1 - y) (1 + y + y^{2}) (y^{2} x)}$

Etapa 1.5.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1 + y + y^{2}) \cdot 1}{(1 - y) (1 + y + y^{2}) (x)}$

Etapa 1.5.4

Cancele o fator comum de $1 - y$ .

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Etapa 1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1 + y + y^{2}) \cdot 1}{(1 - y) (1 + y + y^{2}) x}$

Etapa 1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y + y^{2}) \cdot 1}{(1 + y + y^{2}) (x)}$

Etapa 1.5.5

Cancele o fator comum de $1 + y + y^{2}$ .

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Etapa 1.5.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y + y^{2}) \cdot 1}{(1 + y + y^{2}) x}$

Etapa 1.5.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Etapa 1.6

Reescreva a equação.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} d y = \frac{1}{x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Deixe $u = (1 - y) (1 + y + y^{2})$ . Depois, $d u = - 3 y^{2} d y$ , então, $- \frac{1}{3} d u = y^{2} d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = (1 - y) (1 + y + y^{2})$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $(1 - y) (1 + y + y^{2})$ .

$\frac{d}{d y} [(1 - y) (1 + y + y^{2})]$

Etapa 2.2.1.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = 1 - y$ e $g (y) = 1 + y + y^{2}$ .

$(1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y + y^{2}] + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

Etapa 2.2.1.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + y + y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$(1 - y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

Etapa 2.2.1.1.3.2

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$(1 - y) (0 + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

Etapa 2.2.1.1.3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 - y) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

Etapa 2.2.1.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(1 - y) (1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

Etapa 2.2.1.1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

Etapa 2.2.1.1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y])$

Etapa 2.2.1.1.3.7

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) (0 + \frac{d}{d y} [- y])$

Etapa 2.2.1.1.3.8

Some $0$ e $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [- y]$

Etapa 2.2.1.1.3.9

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) (- \frac{d}{d y} [y])$

Etapa 2.2.1.1.3.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) (- 1 \cdot 1)$

Etapa 2.2.1.1.3.11

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.3.11.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) \cdot - 1$

Etapa 2.2.1.1.3.11.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $1 + y + y^{2}$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) - 1 \cdot (1 + y + y^{2})$

Etapa 2.2.1.1.3.11.3

Reescreva $- 1 (1 + y + y^{2})$ como $- (1 + y + y^{2})$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) - (1 + y + y^{2})$

Etapa 2.2.1.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(1 - y) (1 + 2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Etapa 2.2.1.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(1 - y) \cdot 1 + (1 - y) (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Etapa 2.2.1.1.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \cdot 1 - y \cdot 1 + (1 - y) (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Etapa 2.2.1.1.4.4

Aplique a propriedade distributiva.

$1 \cdot 1 - y \cdot 1 + 1 (2 y) - y (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Etapa 2.2.1.1.4.5

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.4.5.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$1 - y \cdot 1 + 1 (2 y) - y (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Etapa 2.2.1.1.4.5.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$1 - y + 1 (2 y) - y (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Etapa 2.2.1.1.4.5.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$1 - y + 2 y - y (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Etapa 2.2.1.1.4.5.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$1 - y + 2 y - 2 y \cdot y - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Etapa 2.2.1.1.4.5.5

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$1 - y + 2 y - 2 (y^{1} y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Etapa 2.2.1.1.4.5.6

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$1 - y + 2 y - 2 (y^{1} y^{1}) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Etapa 2.2.1.1.4.5.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$1 - y + 2 y - 2 y^{1 + 1} - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Etapa 2.2.1.1.4.5.8

Some $1$ e $1$ .

$1 - y + 2 y - 2 y^{2} - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Etapa 2.2.1.1.4.5.9

Some $- y$ e $2 y$ .

$1 + y - 2 y^{2} - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Etapa 2.2.1.1.4.5.10

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$1 + y - 2 y^{2} - 1 - y - y^{2}$

Etapa 2.2.1.1.4.5.11

Subtraia $1$ de $1$ .

$y - 2 y^{2} + 0 - y - y^{2}$

Etapa 2.2.1.1.4.5.12

Some $y - 2 y^{2}$ e $0$ .

$y - 2 y^{2} - y - y^{2}$

Etapa 2.2.1.1.4.5.13

Subtraia $y$ de $y$ .

$- 2 y^{2} + 0 - y^{2}$

Etapa 2.2.1.1.4.5.14

Some $- 2 y^{2}$ e $0$ .

$- 2 y^{2} - y^{2}$

Etapa 2.2.1.1.4.5.15

Subtraia $y^{2}$ de $- 2 y^{2}$ .

$- 3 y^{2}$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 3} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{3}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.2.2

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.2.3

Mova $3$ para a esquerda de $u$ .

$\int - \frac{1}{3 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{3 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.4

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.5

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

$- \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $(1 - y) (1 + y + y^{2})$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| (1 - y) (1 + y + y^{2}) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| (1 - y) (1 + y + y^{2}) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| (1 - y) (1 + y + y^{2}) |) = \ln (| x |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $- 3$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| (1 - y) (1 + y + y^{2}) |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Simplifique $- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| (1 - y) (1 + y + y^{2}) |))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Expanda $(1 - y) (1 + y + y^{2})$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 y + 1 y^{2} - y \cdot 1 - y \cdot y - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + 1 y + 1 y^{2} - y \cdot 1 - y \cdot y - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.1.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + 1 y^{2} - y \cdot 1 - y \cdot y - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.1.3

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y \cdot 1 - y \cdot y - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y \cdot y - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.1.5

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1.5.1

Mova $y$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - (y \cdot y) - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.1.5.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y^{2} - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.1.6

Multiplique $y$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1.6.1

Mova $y^{2}$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y^{2} - (y^{2} y) |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.1.6.2

Multiplique $y^{2}$ por $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1.6.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y^{2} - (y^{2} y^{1}) |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.1.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y^{2} - y^{2 + 1} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.1.6.3

Some $2$ e $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y^{2} - y^{3} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.2.1

Combine os termos opostos em $1 + y + y^{2} - y - y^{2} - y^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.2.1.1

Subtraia $y$ de $y$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y^{2} + 0 - y^{2} - y^{3} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2.1.2

Some $1 + y^{2}$ e $0$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y^{2} - y^{2} - y^{3} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2.1.3

Subtraia $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + 0 - y^{3} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2.1.4

Some $1$ e $0$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 - y^{3} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2.2

Combine $\ln (| 1 - y^{3} |)$ e $\frac{1}{3}$ .

$- 3 (- \frac{\ln (| 1 - y^{3} |)}{3}) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.2.1.1.2.2.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\ln (| 1 - y^{3} |)}{3}$ para o numerador.

$- 3 \frac{- \ln (| 1 - y^{3} |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2.3.2

Fatore $3$ de $- 3$ .

$3 (- 1) \frac{- \ln (| 1 - y^{3} |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2.3.3

Cancele o fator comum.

$3 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 - y^{3} |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2.3.4

Reescreva a expressão.

$- - \ln (| 1 - y^{3} |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2.4

Multiplique.

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Etapa 3.2.1.1.2.2.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \ln (| 1 - y^{3} |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2.4.2

Multiplique $\ln (| 1 - y^{3} |)$ por $1$ .

$\ln (| 1 - y^{3} |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| 1 - y^{3} |) = - 3 \ln (| x |) - 3 C$

Etapa 3.3

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| 1 - y^{3} |) + 3 \ln (| x |) = - 3 C$

Etapa 3.4

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.1

Simplifique $\ln (| 1 - y^{3} |) + 3 \ln (| x |)$ .

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Etapa 3.4.1.1

Simplifique $3 \ln (| x |)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$\ln (| 1 - y^{3} |) + \ln ({| x |}^{3}) = - 3 C$

Etapa 3.4.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 - y^{3} | {| x |}^{3}) = - 3 C$

Etapa 3.5

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| 1 - y^{3} | {| x |}^{3})} = e^{- 3 C}$

Etapa 3.6

Reescreva $\ln (| 1 - y^{3} | {| x |}^{3}) = - 3 C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 3 C} = | 1 - y^{3} | {| x |}^{3}$

Etapa 3.7

Resolva $y$ .

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Etapa 3.7.1

Reescreva a equação como $| 1 - y^{3} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ .

$| 1 - y^{3} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$

Etapa 3.7.2

Divida cada termo em $| 1 - y^{3} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ por ${| x |}^{3}$ e simplifique.

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Etapa 3.7.2.1

Divida cada termo em $| 1 - y^{3} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ por ${| x |}^{3}$ .

$\frac{| 1 - y^{3} | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Etapa 3.7.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.7.2.2.1

Cancele o fator comum de ${| x |}^{3}$ .

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Etapa 3.7.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| 1 - y^{3} | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Etapa 3.7.2.2.1.2

Divida $| 1 - y^{3} |$ por $1$ .

$| 1 - y^{3} | = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Etapa 3.7.3

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$1 - y^{3} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Etapa 3.7.4

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- y^{3} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 1$

Etapa 3.7.5

Divida cada termo em $- y^{3} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 3.7.5.1

Divida cada termo em $- y^{3} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- y^{3}}{- 1} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.7.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.7.5.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{y^{3}}{1} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.7.5.2.2

Divida $y^{3}$ por $1$ .

$y^{3} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.7.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.7.5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.7.5.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1}$ .

$y^{3} = - 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.7.5.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}})$ como $- (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}})$ .

$y^{3} = - (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 3.7.5.3.1.3

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$y^{3} = - (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + 1$

Etapa 3.7.6

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \sqrt[3]{- (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + 1}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Simplifique a constante de integração.

$y = \sqrt[3]{- (\pm \frac{C}{{| x |}^{3}}) + 1}$

Etapa 4.2

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = \sqrt[3]{- (C \frac{1}{{| x |}^{3}}) + 1}$