Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 7 x^{- 2} + 5 x^{- 1} - 1$ ; , $y (1) = 3$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = (7 x^{- 2} + 5 x^{- 1} - 1) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int 7 x^{- 2} + 5 x^{- 1} - 1 d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int 7 x^{- 2} + 5 x^{- 1} - 1 d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \int 7 x^{- 2} d x + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Etapa 2.3.2

Como $7$ é constante com relação a $x$ , mova $7$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 7 \int x^{- 2} d x + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Etapa 2.3.4

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + 5 \int x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Etapa 2.3.5

A integral de $x^{- 1}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) + \int - 1 d x$

Etapa 2.3.6

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) - x + C_{4}$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

$y + C_{1} = - \frac{7}{x} + 5 \ln (| x |) - x + C_{5}$

Etapa 2.3.8

Reordene os termos.

$y + C_{1} = - x - \frac{7}{x} + 5 \ln (| x |) + C_{5}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$y = - x - \frac{7}{x} + 5 \ln (| x |) + C$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $1$ por $x$ e $3$ por $y$ em $y = - x - \frac{7}{x} + 5 \ln (| x |) + C$ .

$3 = - 1 - \frac{7}{1} + 5 \ln (| 1 |) + C$

Etapa 4

Resolva $C$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $- 1 - \frac{7}{1} + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$ .

$- 1 - \frac{7}{1} + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$

Etapa 4.2

Simplifique $- 1 - \frac{7}{1} + 5 \ln (| 1 |) + C$ .

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Divida $7$ por $1$ .

$- 1 - 1 \cdot 7 + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$- 1 - 7 + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$

Etapa 4.2.1.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$- 1 - 7 + 5 \ln (1) + C = 3$

Etapa 4.2.1.4

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$- 1 - 7 + 5 \cdot 0 + C = 3$

Etapa 4.2.1.5

Multiplique $5$ por $0$ .

$- 1 - 7 + 0 + C = 3$

Etapa 4.2.2

Simplifique subtraindo os números.

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Etapa 4.2.2.1

Some $- 1 - 7$ e $0$ .

$- 1 - 7 + C = 3$

Etapa 4.2.2.2

Subtraia $7$ de $- 1$ .

$- 8 + C = 3$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.3.1

Some $8$ aos dois lados da equação.

$C = 3 + 8$

Etapa 4.3.2

Some $3$ e $8$ .

$C = 11$

Etapa 5

Substitua $11$ por $C$ em $y = - x - \frac{7}{x} + 5 \ln (| x |) + C$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $11$ por $C$ .

$y = - x - \frac{7}{x} + 5 \ln (| x |) + 11$

Etapa 5.2

Simplifique $5 \ln (| x |)$ movendo $5$ para dentro do logaritmo.

$y = - x - \frac{7}{x} + \ln ({| x |}^{5}) + 11$