Cálculo Exemplos

$(2 x e^{3 y} + e^{x}) d x + (3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 2 x e^{3 y} + e^{x}$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x e^{3 y} + e^{x}]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x e^{3 y} + e^{x}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2 x e^{3 y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x e^{3 y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [2 x e^{3 y}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $2 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x e^{3 y}$ em relação a $y$ é $2 x \frac{d}{d y} [e^{3 y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [e^{3 y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = 3 y$ .

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Etapa 1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Etapa 1.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (e^{u} \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (e^{3 y} \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Etapa 1.3.3

Como $3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 y$ em relação a $y$ é $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (e^{3 y} (3 \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (e^{3 y} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Etapa 1.3.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (e^{3 y} \cdot 3) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Etapa 1.3.6

Mova $3$ para a esquerda de $e^{3 y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (3 \cdot e^{3 y}) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Etapa 1.3.7

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x e^{3 y} + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Etapa 1.4

Como $e^{x}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $e^{x}$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x e^{3 y} + 0$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Some $6 x e^{3 y}$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x e^{3 y}$

Etapa 1.5.2

Reordene os fatores de $6 x e^{3 y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 e^{3 y} x$

Etapa 1.5.3

Reordene os fatores em $6 e^{3 y} x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x e^{3 y}$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{3 y}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{3 y}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{3 y}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $3 e^{3 y}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2} e^{3 y}$ em relação a $x$ é $3 e^{3 y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{3 y} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{3 y} (2 x) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 e^{3 y} x + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Etapa 2.4

Como $- y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 e^{3 y} x + 0$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Some $6 e^{3 y} x$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 e^{3 y} x$

Etapa 2.5.2

Reordene os fatores em $6 e^{3 y} x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x e^{3 y}$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $6 x e^{3 y}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $6 x e^{3 y}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$6 x e^{3 y} = 6 x e^{3 y}$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$6 x e^{3 y} = 6 x e^{3 y}$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x e^{3 y} + e^{x} d x$

Etapa 5

Integre $M (x, y) = 2 x e^{3 y} + e^{x}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int 2 x e^{3 y} d x + \int e^{x} d x$

Etapa 5.2

Como $2 e^{3 y}$ é constante com relação a $x$ , mova $2 e^{3 y}$ para fora da integral.

$f (x, y) = 2 e^{3 y} \int x d x + \int e^{x} d x$

Etapa 5.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 e^{3 y} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int e^{x} d x$

Etapa 5.4

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$f (x, y) = 2 e^{3 y} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + e^{x} + C$

Etapa 5.5

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 e^{3 y} (\frac{x^{2}}{2} + C) + e^{x} + C$

Etapa 5.6

Simplifique.

$f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} + g (y)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [e^{3 y} x^{2} + e^{x} + g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{3 y} x^{2} + e^{x} + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [e^{3 y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{3 y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d y} [e^{3 y} x^{2}]$ .

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Etapa 8.3.1

Como $x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $e^{3 y} x^{2}$ em relação a $y$ é $x^{2} \frac{d}{d y} [e^{3 y}]$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [e^{3 y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Etapa 8.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = 3 y$ .

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Etapa 8.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Etapa 8.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Etapa 8.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 y$ .

$x^{2} (e^{3 y} \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Etapa 8.3.3

Como $3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 y$ em relação a $y$ é $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{2} (e^{3 y} (3 \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Etapa 8.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} (e^{3 y} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Etapa 8.3.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$x^{2} (e^{3 y} \cdot 3) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Etapa 8.3.6

Mova $3$ para a esquerda de $e^{3 y}$ .

$x^{2} (3 \cdot e^{3 y}) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Etapa 8.3.7

Mova $3$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$3 x^{2} e^{3 y} + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Etapa 8.4

Como $e^{x}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $e^{x}$ em relação a $y$ é $0$ .

$3 x^{2} e^{3 y} + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Etapa 8.5

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x^{2} e^{3 y} + 0 + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Etapa 8.6

Simplifique.

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Etapa 8.6.1

Some $3 x^{2} e^{3 y}$ e $0$ .

$3 x^{2} e^{3 y} + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Etapa 8.6.2

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} + 3 e^{3 y} x^{2} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Etapa 8.6.3

Reordene os fatores em $\frac{d g}{d y} + 3 e^{3 y} x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} e^{3 y} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 9.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d y}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1.1

Subtraia $3 x^{2} e^{3 y}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2} - 3 x^{2} e^{3 y}$

Etapa 9.1.2

Combine os termos opostos em $3 x^{2} e^{3 y} - y^{2} - 3 x^{2} e^{3 y}$ .

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Etapa 9.1.2.1

Subtraia $3 x^{2} e^{3 y}$ de $3 x^{2} e^{3 y}$ .

$\frac{d g}{d y} = - y^{2} + 0$

Etapa 9.1.2.2

Some $- y^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y^{2}$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $- y^{2}$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = - y^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y^{2} d y$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y^{2} d y$

Etapa 10.3

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (y) = - \int y^{2} d y$

Etapa 10.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = - (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Etapa 10.5

Reescreva $- (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ como $- \frac{1}{3} y^{3} + C$ .

$g (y) = - \frac{1}{3} y^{3} + C$

Etapa 11

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} + g (y)$ .

$f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} - \frac{1}{3} y^{3} + C$

Etapa 12

Simplifique $f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} - \frac{1}{3} y^{3} + C$ .

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Etapa 12.1

Combine $y^{3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} - \frac{y^{3}}{3} + C$

Etapa 12.2

Reordene os fatores em $f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} - \frac{y^{3}}{3} + C$ .

$f (x, y) = x^{2} e^{3 y} + e^{x} - \frac{y^{3}}{3} + C$