Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y - y}{y + 1}$ , $y (3) = 1$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore.

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Etapa 1.1.1

Fatore $y$ de $x^{2} y - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Fatore $y$ de $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} - y}{y + 1}$

Etapa 1.1.1.2

Fatore $y$ de $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} + y \cdot - 1}{y + 1}$

Etapa 1.1.1.3

Fatore $y$ de $y x^{2} + y \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x^{2} - 1)}{y + 1}$

Etapa 1.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x^{2} - 1^{2})}{y + 1}$

Etapa 1.1.3

Fatore.

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Etapa 1.1.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y ((x + 1) (x - 1))}{y + 1}$

Etapa 1.1.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1) (x - 1)}{y + 1}$

Etapa 1.2

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = (x + 1) (x - 1) \frac{y}{y + 1}$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{y + 1}{y}$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x + 1) (x - 1) \frac{y}{y + 1})$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Expanda $(x + 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x (x - 1) + 1 (x - 1)) \frac{y}{y + 1})$

Etapa 1.4.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) \frac{y}{y + 1})$

Etapa 1.4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

Etapa 1.4.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.2.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

Etapa 1.4.2.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

Etapa 1.4.2.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

Etapa 1.4.2.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

Etapa 1.4.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - x + x - 1) \frac{y}{y + 1})$

Etapa 1.4.2.2

Some $- x$ e $x$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} + 0 - 1) \frac{y}{y + 1})$

Etapa 1.4.2.3

Some $x^{2}$ e $0$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - 1) \frac{y}{y + 1})$

Etapa 1.4.3

Multiplique $x^{2} - 1$ por $\frac{y}{y + 1}$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} \cdot \frac{(x^{2} - 1) y}{y + 1}$

Etapa 1.4.4

Cancele o fator comum de $y + 1$ .

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Etapa 1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} \cdot \frac{(x^{2} - 1) y}{y + 1}$

Etapa 1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} ((x^{2} - 1) y)$

Etapa 1.4.5

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.4.5.1

Fatore $y$ de $(x^{2} - 1) y$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x^{2} - 1))$

Etapa 1.4.5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x^{2} - 1))$

Etapa 1.4.5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = x^{2} - 1$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$\frac{y + 1}{y} d y = (x^{2} - 1) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{y + 1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Divida a fração em diversas frações.

$\int \frac{y}{y} + \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

Etapa 2.2.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

Etapa 2.2.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 2.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

Etapa 2.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\int d y + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

Etapa 2.2.4

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

Etapa 2.2.5

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$y + C_{1} + \ln (| y |) + C_{2} = \int x^{2} - 1 d x$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{2} - 1 d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int - 1 d x$

Etapa 2.3.3

Aplique a regra da constante.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} - x + C_{5}$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} - x + C_{6}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $3$ por $x$ e $1$ por $y$ em $y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ .

$1 + \ln (| 1 |) = \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + C$

Etapa 4

Resolva $C$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$ .

$\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Etapa 4.2

Simplifique $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + C$ .

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.2.1.1.1

Fatore $3$ de $3^{3}$ .

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Etapa 4.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Etapa 4.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$3^{2} - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Etapa 4.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$9 - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Etapa 4.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$9 - 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Etapa 4.2.2

Subtraia $3$ de $9$ .

$6 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Etapa 4.3

Simplifique $1 + \ln (| 1 |)$ .

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Etapa 4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.1.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$6 + C = 1 + \ln (1)$

Etapa 4.3.1.2

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$6 + C = 1 + 0$

Etapa 4.3.2

Some $1$ e $0$ .

$6 + C = 1$

Etapa 4.4

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.4.1

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$C = 1 - 6$

Etapa 4.4.2

Subtraia $6$ de $1$ .

$C = - 5$

Etapa 5

Substitua $- 5$ por $C$ em $y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $- 5$ por $C$ .

$y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - x - 5$

Etapa 5.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$y + \ln (| y |) = \frac{x^{3}}{3} - x - 5$