Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d t} = t^{\frac{5}{2}} y^{4}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y^{4}}$ .

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{4}} (t^{\frac{5}{2}} y^{4})$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore $y^{4}$ de $t^{\frac{5}{2}} y^{4}$ .

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{4}} (y^{4} t^{\frac{5}{2}})$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{4}} (y^{4} t^{\frac{5}{2}})$

Etapa 1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d t} = t^{\frac{5}{2}}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y^{4}} d y = t^{\frac{5}{2}} d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y^{4}} d y = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.2.1.1

Mova $y^{4}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(y^{4})}^{- 1} d y = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(y^{4})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{4 \cdot - 1} d y = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

Etapa 2.2.1.2.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\int y^{- 4} d y = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- 4}$ com relação a $y$ é $- \frac{1}{3} y^{- 3}$ .

$- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{1} = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

Etapa 2.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.2.3.1

Reescreva $- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{1}$ como $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{y^{3}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

Etapa 2.2.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{y^{3}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{y^{3} \cdot 3} + C_{1} = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

Etapa 2.2.3.2.2

Mova $3$ para a esquerda de $y^{3}$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t^{\frac{5}{2}}$ com relação a $t$ é $\frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}}$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = \frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} = \frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}} + K$