Cálculo Exemplos

$\frac{e^{2 x}}{e^{3 y}} d x + \frac{e^{2 y}}{e^{3 x}} d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $\frac{e^{2 x}}{e^{3 y}} d x$ dos dois lados da equação.

$\frac{e^{2 y}}{e^{3 x}} d y = - \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}} d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $e^{3 x + 3 y}$ .

$e^{3 x + 3 y} \frac{e^{2 y}}{e^{3 x}} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $e^{2 y}$ e $e^{3 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Fatore $e^{3 x}$ de $e^{2 y}$ .

$e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 x} e^{2 y - 3 x}}{e^{3 x}} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Etapa 3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Multiplique por $1$ .

$e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 x} e^{2 y - 3 x}}{e^{3 x} \cdot 1} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Etapa 3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 x} e^{2 y - 3 x}}{e^{3 x} \cdot 1} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Etapa 3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$e^{3 x + 3 y} \frac{e^{2 y - 3 x}}{1} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Etapa 3.1.2.4

Divida $e^{2 y - 3 x}$ por $1$ .

$e^{3 x + 3 y} e^{2 y - 3 x} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Etapa 3.2

Multiplique $e^{3 x + 3 y}$ por $e^{2 y - 3 x}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{3 x + 3 y + 2 y - 3 x} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Etapa 3.2.2

Combine os termos opostos em $3 x + 3 y + 2 y - 3 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Subtraia $3 x$ de $3 x$ .

$e^{3 y + 2 y + 0} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Etapa 3.2.2.2

Some $3 y + 2 y$ e $0$ .

$e^{3 y + 2 y} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Etapa 3.2.3

Some $3 y$ e $2 y$ .

$e^{5 y} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Etapa 3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}} d x$

Etapa 3.4

Cancele o fator comum de $e^{2 x}$ e $e^{3 y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Fatore $e^{3 y}$ de $e^{2 x}$ .

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 y} e^{2 x - 3 y}}{e^{3 y}} d x$

Etapa 3.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Multiplique por $1$ .

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 y} e^{2 x - 3 y}}{e^{3 y} \cdot 1} d x$

Etapa 3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 y} e^{2 x - 3 y}}{e^{3 y} \cdot 1} d x$

Etapa 3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} \frac{e^{2 x - 3 y}}{1} d x$

Etapa 3.4.2.4

Divida $e^{2 x - 3 y}$ por $1$ .

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} e^{2 x - 3 y} d x$

Etapa 3.5

Multiplique $e^{3 x + 3 y}$ por $e^{2 x - 3 y}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Mova $e^{2 x - 3 y}$ .

$e^{5 y} d y = - (e^{2 x - 3 y} e^{3 x + 3 y}) d x$

Etapa 3.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{5 y} d y = - e^{2 x - 3 y + 3 x + 3 y} d x$

Etapa 3.5.3

Combine os termos opostos em $2 x - 3 y + 3 x + 3 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1

Some $- 3 y$ e $3 y$ .

$e^{5 y} d y = - e^{2 x + 3 x + 0} d x$

Etapa 3.5.3.2

Some $2 x + 3 x$ e $0$ .

$e^{5 y} d y = - e^{2 x + 3 x} d x$

Etapa 3.5.4

Some $2 x$ e $3 x$ .

$e^{5 y} d y = - e^{5 x} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int e^{5 y} d y = \int - e^{5 x} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Deixe $u_{1} = 5 y$ . Depois, $d u_{1} = 5 d y$ , então, $\frac{1}{5} d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Deixe $u_{1} = 5 y$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.1

Diferencie $5 y$ .

$\frac{d}{d y} [5 y]$

Etapa 4.2.1.1.2

Como $5$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $5 y$ em relação a $y$ é $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$5 \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 4.2.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Etapa 4.2.1.1.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$5$

Etapa 4.2.1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{5} d u_{1} = \int - e^{5 x} d x$

Etapa 4.2.2

Combine $e^{u_{1}}$ e $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{5} d u_{1} = \int - e^{5 x} d x$

Etapa 4.2.3

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$\frac{1}{5} \int e^{u_{1}} d u_{1} = \int - e^{5 x} d x$

Etapa 4.2.4

A integral de $e^{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{5} (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int - e^{5 x} d x$

Etapa 4.2.5

Simplifique.

$\frac{1}{5} e^{u_{1}} + C_{1} = \int - e^{5 x} d x$

Etapa 4.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $5 y$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \int - e^{5 x} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \int e^{5 x} d x$

Etapa 4.3.2

Deixe $u_{2} = 5 x$ . Depois, $d u_{2} = 5 d x$ , então, $\frac{1}{5} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Deixe $u_{2} = 5 x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Diferencie $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 4.3.2.1.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.3.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Etapa 4.3.2.1.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$5$

Etapa 4.3.2.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \int e^{u_{2}} \frac{1}{5} d u_{2}$

Etapa 4.3.3

Combine $e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \int \frac{e^{u_{2}}}{5} d u_{2}$

Etapa 4.3.4

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - (\frac{1}{5} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 4.3.5

A integral de $e^{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \frac{1}{5} (e^{u_{2}} + C_{2})$

Etapa 4.3.6

Simplifique.

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \frac{1}{5} e^{u_{2}} + C_{2}$

Etapa 4.3.7

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $5 x$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \frac{1}{5} e^{5 x} + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} = - \frac{1}{5} e^{5 x} + K$

Etapa 5

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiplique os dois lados da equação por $5$ .

$5 (\frac{1}{5} e^{5 y}) = 5 (- \frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

Etapa 5.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Simplifique $5 (\frac{1}{5} e^{5 y})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{5}$ e $e^{5 y}$ .

$5 \frac{e^{5 y}}{5} = 5 (- \frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

Etapa 5.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$5 \frac{e^{5 y}}{5} = 5 (- \frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

Etapa 5.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{5 y} = 5 (- \frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Simplifique $5 (- \frac{1}{5} e^{5 x} + K)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Combine $e^{5 x}$ e $\frac{1}{5}$ .

$e^{5 y} = 5 (- \frac{e^{5 x}}{5} + K)$

Etapa 5.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{5 y} = 5 (- \frac{e^{5 x}}{5}) + 5 K$

Etapa 5.2.2.1.3

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{e^{5 x}}{5}$ para o numerador.

$e^{5 y} = 5 \frac{- e^{5 x}}{5} + 5 K$

Etapa 5.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$e^{5 y} = 5 \frac{- e^{5 x}}{5} + 5 K$

Etapa 5.2.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$e^{5 y} = - e^{5 x} + 5 K$

Etapa 5.3

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{5 y}) = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$

Etapa 5.4

Expanda o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Expanda $\ln (e^{5 y})$ movendo $5 y$ para fora do logaritmo.

$5 y \ln (e) = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$

Etapa 5.4.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$5 y \cdot 1 = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$

Etapa 5.4.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$5 y = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$

Etapa 5.5

Divida cada termo em $5 y = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$ por $5$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Divida cada termo em $5 y = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$ por $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{\ln (- e^{5 x} + 5 K)}{5}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 y}{5} = \frac{\ln (- e^{5 x} + 5 K)}{5}$

Etapa 5.5.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (- e^{5 x} + 5 K)}{5}$

Etapa 6

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\ln (- e^{5 x} + K)}{5}$