Cálculo Exemplos

$\frac{d P}{d t} = P^{2} - 7 P + 12$ , $P (0) = 1$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{P^{2} - 7 P + 12}$ .

$\frac{1}{P^{2} - 7 P + 12} \frac{d P}{d t} = \frac{1}{P^{2} - 7 P + 12} (P^{2} - 7 P + 12)$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $P^{2} - 7 P + 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{P^{2} - 7 P + 12} \frac{d P}{d t} = \frac{1}{P^{2} - 7 P + 12} (P^{2} - 7 P + 12)$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{P^{2} - 7 P + 12} \frac{d P}{d t} = 1$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{P^{2} - 7 P + 12} d P = 1 d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{P^{2} - 7 P + 12} d P = \int d t$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Fatore $P^{2} - 7 P + 12$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $12$ e cuja soma é $- 7$ .

$- 4, - 3$

Etapa 2.2.1.1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{1}{(P - 4) (P - 3)}$

Etapa 2.2.1.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{P - 4}$

Etapa 2.2.1.1.3

$\frac{A}{P - 4} + \frac{B}{P - 3}$

Etapa 2.2.1.1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(P - 4) (P - 3)$ .

$\frac{1 (P - 4) (P - 3)}{(P - 4) (P - 3)} = \frac{(A) (P - 4) (P - 3)}{P - 4} + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

Etapa 2.2.1.1.5

Cancele o fator comum de $P - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (P - 4) (P - 3)}{(P - 4) (P - 3)} = \frac{(A) (P - 4) (P - 3)}{P - 4} + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

Etapa 2.2.1.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (P - 3)}{P - 3} = \frac{(A) (P - 4) (P - 3)}{P - 4} + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

Etapa 2.2.1.1.6

Cancele o fator comum de $P - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (P - 3)}{P - 3} = \frac{(A) (P - 4) (P - 3)}{P - 4} + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

Etapa 2.2.1.1.6.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{(A) (P - 4) (P - 3)}{P - 4} + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

Etapa 2.2.1.1.7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.7.1

Cancele o fator comum de $P - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.7.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (P - 4) (P - 3)}{P - 4} + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

Etapa 2.2.1.1.7.1.2

Divida $(A) (P - 3)$ por $1$ .

$1 = (A) (P - 3) + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

Etapa 2.2.1.1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A P + A \cdot - 3 + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

Etapa 2.2.1.1.7.3

Mova $- 3$ para a esquerda de $A$ .

$1 = A P - 3 \cdot A + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

Etapa 2.2.1.1.7.4

Cancele o fator comum de $P - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.7.4.1

Cancele o fator comum.

$1 = A P - 3 A + \frac{(B) (P - 4) (P - 3)}{P - 3}$

Etapa 2.2.1.1.7.4.2

Divida $(B) (P - 4)$ por $1$ .

$1 = A P - 3 A + (B) (P - 4)$

Etapa 2.2.1.1.7.5

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A P - 3 A + B P + B \cdot - 4$

Etapa 2.2.1.1.7.6

Mova $- 4$ para a esquerda de $B$ .

$1 = A P - 3 A + B P - 4 B$

Etapa 2.2.1.1.8

Mova $- 3 A$ .

$1 = A P + B P - 3 A - 4 B$

Etapa 2.2.1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $P$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A + B$

Etapa 2.2.1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $P$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = - 3 A - 4 B$

Etapa 2.2.1.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = A + B$

$1 = - 3 A - 4 B$

$0 = A + B$

$1 = - 3 A - 4 B$

Etapa 2.2.1.3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.1

Resolva $A$ em $0 = A + B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.1.1

Reescreva a equação como $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 3 A - 4 B$

Etapa 2.2.1.3.1.2

Subtraia $B$ dos dois lados da equação.

$A = - B$

$1 = - 3 A - 4 B$

$A = - B$

$1 = - 3 A - 4 B$

Etapa 2.2.1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $- B$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $1 = - 3 A - 4 B$ por $- B$ .

$1 = - 3 (- B) - 4 B$

$A = - B$

Etapa 2.2.1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.2.2.1

Simplifique $- 3 (- B) - 4 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.2.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$1 = 3 B - 4 B$

$A = - B$

Etapa 2.2.1.3.2.2.1.2

Subtraia $4 B$ de $3 B$ .

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

$1 = - B$

$A = - B$

Etapa 2.2.1.3.3

Resolva $B$ em $1 = - B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.3.1

Reescreva a equação como $- B = 1$ .

$- B = 1$

$A = - B$

Etapa 2.2.1.3.3.2

Divida cada termo em $- B = 1$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.3.2.1

Divida cada termo em $- B = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

Etapa 2.2.1.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.3.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{B}{1} = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

Etapa 2.2.1.3.3.2.2.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{- 1}$

$A = - B$

Etapa 2.2.1.3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.3.2.3.1

Divida $1$ por $- 1$ .

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

$B = - 1$

$A = - B$

Etapa 2.2.1.3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $- 1$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = - B$ por $- 1$ .

$A = - (- 1)$

$B = - 1$

Etapa 2.2.1.3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

Etapa 2.2.1.3.5

Liste todas as soluções.

$A = 1, B = - 1$

Etapa 2.2.1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{P - 4} + \frac{B}{P - 3}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{1}{P - 4} + \frac{- 1}{P - 3}$

Etapa 2.2.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \frac{1}{P - 4} - \frac{1}{P - 3} d P = \int d t$

Etapa 2.2.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{P - 4} d P + \int - \frac{1}{P - 3} d P = \int d t$

Etapa 2.2.3

Deixe $u_{1} = P - 4$ . Depois, $d u_{1} = d P$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Deixe $u_{1} = P - 4$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d P}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1.1

Diferencie $P - 4$ .

$\frac{d}{d P} [P - 4]$

Etapa 2.2.3.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $P - 4$ com relação a $P$ é $\frac{d}{d P} [P] + \frac{d}{d P} [- 4]$ .

$\frac{d}{d P} [P] + \frac{d}{d P} [- 4]$

Etapa 2.2.3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d P} [P^{n}]$ é $n P^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d P} [- 4]$

Etapa 2.2.3.1.4

Como $- 4$ é constante em relação a $P$ , a derivada de $- 4$ em relação a $P$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.2.3.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2.3.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{P - 3} d P = \int d t$

Etapa 2.2.4

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} + \int - \frac{1}{P - 3} d P = \int d t$

Etapa 2.2.5

Como $- 1$ é constante com relação a $P$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} - \int \frac{1}{P - 3} d P = \int d t$

Etapa 2.2.6

Deixe $u_{2} = P - 3$ . Depois, $d u_{2} = d P$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.1

Deixe $u_{2} = P - 3$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d P}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.6.1.1

Diferencie $P - 3$ .

$\frac{d}{d P} [P - 3]$

Etapa 2.2.6.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $P - 3$ com relação a $P$ é $\frac{d}{d P} [P] + \frac{d}{d P} [- 3]$ .

$\frac{d}{d P} [P] + \frac{d}{d P} [- 3]$

Etapa 2.2.6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d P} [P^{n}]$ é $n P^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d P} [- 3]$

Etapa 2.2.6.1.4

Como $- 3$ é constante em relação a $P$ , a derivada de $- 3$ em relação a $P$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.2.6.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2.6.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d t$

Etapa 2.2.7

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} - (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int d t$

Etapa 2.2.8

Simplifique.

$\ln (| u_{1} |) - \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d t$

Etapa 2.2.9

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| u_{1} |}{| u_{2} |}) + C_{3} = \int d t$

Etapa 2.2.10

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.10.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $P - 4$ .

$\ln (\frac{| P - 4 |}{| u_{2} |}) + C_{3} = \int d t$

Etapa 2.2.10.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $P - 3$ .

$\ln (\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |}) + C_{3} = \int d t$

Etapa 2.3

Aplique a regra da constante.

$\ln (\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |}) + C_{3} = t + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |}) = t + C$

Etapa 3

Resolva $P$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Para resolver $P$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |})} = e^{t + C}$

Etapa 3.2

Reescreva $\ln (\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |}) = t + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{t + C} = \frac{| P - 4 |}{| P - 3 |}$

Etapa 3.3

Resolva $P$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |} = e^{t + C}$ .

$\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |} = e^{t + C}$

Etapa 3.3.2

Multiplique os dois lados por $| P - 3 |$ .

$\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |} | P - 3 | = e^{t + C} | P - 3 |$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Cancele o fator comum de $| P - 3 |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| P - 4 |}{| P - 3 |} | P - 3 | = e^{t + C} | P - 3 |$

Etapa 3.3.3.1.2

Reescreva a expressão.

$| P - 4 | = e^{t + C} | P - 3 |$

Etapa 3.3.4

Resolva $P$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.1

Reescreva a equação como $e^{t + C} | P - 3 | = | P - 4 |$ .

$e^{t + C} | P - 3 | = | P - 4 |$

Etapa 3.3.4.2

Divida cada termo em $e^{t + C} | P - 3 | = | P - 4 |$ por $e^{t + C}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.2.1

Divida cada termo em $e^{t + C} | P - 3 | = | P - 4 |$ por $e^{t + C}$ .

$\frac{e^{t + C} | P - 3 |}{e^{t + C}} = \frac{| P - 4 |}{e^{t + C}}$

Etapa 3.3.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $e^{t + C}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{t + C} | P - 3 |}{e^{t + C}} = \frac{| P - 4 |}{e^{t + C}}$

Etapa 3.3.4.2.2.1.2

Divida $| P - 3 |$ por $1$ .

$| P - 3 | = \frac{| P - 4 |}{e^{t + C}}$

Etapa 3.3.4.3

Reescreva a equação de valor absoluto como quatro equações sem barras de valor absoluto.

$P - 3 = \frac{P - 4}{e^{t + C}}$

$P - 3 = - \frac{P - 4}{e^{t + C}}$

$- (P - 3) = \frac{P - 4}{e^{t + C}}$

$- (P - 3) = - \frac{P - 4}{e^{t + C}}$

Etapa 3.3.4.4

Depois de simplificar, há apenas duas equações únicas para resolver.

$P - 3 = \frac{P - 4}{e^{t + C}}$

$P - 3 = - \frac{P - 4}{e^{t + C}}$

Etapa 3.3.4.5

Resolva $P - 3 = \frac{P - 4}{e^{t + C}}$ para $P$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.5.1

Multiplique os dois lados por $e^{t + C}$ .

$(P - 3) e^{t + C} = \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Etapa 3.3.4.5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.5.2.1.1

Simplifique $(P - 3) e^{t + C}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.5.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$P e^{t + C} - 3 e^{t + C} = \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Etapa 3.3.4.5.2.1.1.2

Simplifique com comutação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.5.2.1.1.2.1

Reordene $t$ e $C$ .

$P e^{C + t} - 3 e^{t + C} = \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Etapa 3.3.4.5.2.1.1.2.2

Reordene $t$ e $C$ .

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Etapa 3.3.4.5.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $e^{t + C}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Etapa 3.3.4.5.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = P - 4$

Etapa 3.3.4.5.3

Resolva $P$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.5.3.1

Subtraia $P$ dos dois lados da equação.

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} - P = - 4$

Etapa 3.3.4.5.3.2

Some $3 e^{C + t}$ aos dois lados da equação.

$P e^{C + t} - P = - 4 + 3 e^{C + t}$

Etapa 3.3.4.5.3.3

Fatore $P$ de $P e^{C + t} - P$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.5.3.3.1

Fatore $P$ de $P e^{C + t}$ .

$P e^{C + t} - P = - 4 + 3 e^{C + t}$

Etapa 3.3.4.5.3.3.2

Fatore $P$ de $- P$ .

$P e^{C + t} + P \cdot - 1 = - 4 + 3 e^{C + t}$

Etapa 3.3.4.5.3.3.3

Fatore $P$ de $P e^{C + t} + P \cdot - 1$ .

$P (e^{C + t} - 1) = - 4 + 3 e^{C + t}$

Etapa 3.3.4.5.3.4

Divida cada termo em $P (e^{C + t} - 1) = - 4 + 3 e^{C + t}$ por $e^{C + t} - 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.5.3.4.1

Divida cada termo em $P (e^{C + t} - 1) = - 4 + 3 e^{C + t}$ por $e^{C + t} - 1$ .

$\frac{P (e^{C + t} - 1)}{e^{C + t} - 1} = \frac{- 4}{e^{C + t} - 1} + \frac{3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

Etapa 3.3.4.5.3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.5.3.4.2.1

Cancele o fator comum de $e^{C + t} - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.5.3.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{P (e^{C + t} - 1)}{e^{C + t} - 1} = \frac{- 4}{e^{C + t} - 1} + \frac{3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

Etapa 3.3.4.5.3.4.2.1.2

Divida $P$ por $1$ .

$P = \frac{- 4}{e^{C + t} - 1} + \frac{3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

Etapa 3.3.4.5.3.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.5.3.4.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$P = \frac{- 4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

Etapa 3.3.4.5.3.4.3.2

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$P = \frac{- 1 (4) + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

Etapa 3.3.4.5.3.4.3.3

Fatore $- 1$ de $3 e^{C + t}$ .

$P = \frac{- 1 (4) - (- 3 e^{C + t})}{e^{C + t} - 1}$

Etapa 3.3.4.5.3.4.3.4

Fatore $- 1$ de $- 1 (4) - (- 3 e^{C + t})$ .

$P = \frac{- 1 (4 - 3 e^{C + t})}{e^{C + t} - 1}$

Etapa 3.3.4.5.3.4.3.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$P = - \frac{4 - 3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

Etapa 3.3.4.6

Resolva $P - 3 = - \frac{P - 4}{e^{t + C}}$ para $P$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.6.1

Multiplique os dois lados por $e^{t + C}$ .

$(P - 3) e^{t + C} = - \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Etapa 3.3.4.6.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.6.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.6.2.1.1

Simplifique $(P - 3) e^{t + C}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.6.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$P e^{t + C} - 3 e^{t + C} = - \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Etapa 3.3.4.6.2.1.1.2

Simplifique com comutação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.6.2.1.1.2.1

Reordene $t$ e $C$ .

$P e^{C + t} - 3 e^{t + C} = - \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Etapa 3.3.4.6.2.1.1.2.2

Reordene $t$ e $C$ .

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = - \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Etapa 3.3.4.6.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.6.2.2.1

Simplifique $- \frac{P - 4}{e^{t + C}} e^{t + C}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.6.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $e^{t + C}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.6.2.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{P - 4}{e^{t + C}}$ para o numerador.

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = \frac{- (P - 4)}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Etapa 3.3.4.6.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = \frac{- (P - 4)}{e^{t + C}} e^{t + C}$

Etapa 3.3.4.6.2.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = - (P - 4)$

Etapa 3.3.4.6.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = - P - - 4$

Etapa 3.3.4.6.2.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} = - P + 4$

Etapa 3.3.4.6.3

Resolva $P$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.6.3.1

Some $P$ aos dois lados da equação.

$P e^{C + t} - 3 e^{C + t} + P = 4$

Etapa 3.3.4.6.3.2

Some $3 e^{C + t}$ aos dois lados da equação.

$P e^{C + t} + P = 4 + 3 e^{C + t}$

Etapa 3.3.4.6.3.3

Fatore $P$ de $P e^{C + t} + P$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.6.3.3.1

Fatore $P$ de $P e^{C + t}$ .

$P e^{C + t} + P = 4 + 3 e^{C + t}$

Etapa 3.3.4.6.3.3.2

Eleve $P$ à potência de $1$ .

$P e^{C + t} + P = 4 + 3 e^{C + t}$

Etapa 3.3.4.6.3.3.3

Fatore $P$ de $P^{1}$ .

$P e^{C + t} + P \cdot 1 = 4 + 3 e^{C + t}$

Etapa 3.3.4.6.3.3.4

Fatore $P$ de $P e^{C + t} + P \cdot 1$ .

$P (e^{C + t} + 1) = 4 + 3 e^{C + t}$

Etapa 3.3.4.6.3.4

Divida cada termo em $P (e^{C + t} + 1) = 4 + 3 e^{C + t}$ por $e^{C + t} + 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.6.3.4.1

Divida cada termo em $P (e^{C + t} + 1) = 4 + 3 e^{C + t}$ por $e^{C + t} + 1$ .

$\frac{P (e^{C + t} + 1)}{e^{C + t} + 1} = \frac{4}{e^{C + t} + 1} + \frac{3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

Etapa 3.3.4.6.3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.6.3.4.2.1

Cancele o fator comum de $e^{C + t} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.6.3.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{P (e^{C + t} + 1)}{e^{C + t} + 1} = \frac{4}{e^{C + t} + 1} + \frac{3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

Etapa 3.3.4.6.3.4.2.1.2

Divida $P$ por $1$ .

$P = \frac{4}{e^{C + t} + 1} + \frac{3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

Etapa 3.3.4.6.3.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.4.6.3.4.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

Etapa 3.3.4.7

Liste todas as soluções.

$P = - \frac{4 - 3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

$P = - \frac{4 - 3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

$P = - \frac{4 - 3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

$P = - \frac{4 - 3 e^{C + t}}{e^{C + t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Reordene os termos.

$P = - \frac{4 - 3 e^{t + C}}{e^{C + t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

Etapa 4.2

Reescreva $e^{t + C}$ como $e^{t} e^{C}$ .

$P = - \frac{4 - 3 (e^{t} e^{C})}{e^{C + t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

Etapa 4.3

Reordene $e^{t}$ e $e^{C}$ .

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C + t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

Etapa 4.4

Reordene os termos.

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{t + C} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

Etapa 4.5

Reescreva $e^{t + C}$ como $e^{t} e^{C}$ .

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{t} e^{C} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

Etapa 4.6

Reordene $e^{t}$ e $e^{C}$ .

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{C + t}}{e^{C + t} + 1}$

Etapa 4.7

Reordene os termos.

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 e^{t + C}}{e^{C + t} + 1}$

Etapa 4.8

Reescreva $e^{t + C}$ como $e^{t} e^{C}$ .

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 (e^{t} e^{C})}{e^{C + t} + 1}$

Etapa 4.9

Reordene $e^{t}$ e $e^{C}$ .

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C + t} + 1}$

Etapa 4.10

Reordene os termos.

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 (e^{C} e^{t})}{e^{t + C} + 1}$

Etapa 4.11

Reescreva $e^{t + C}$ como $e^{t} e^{C}$ .

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 (e^{C} e^{t})}{e^{t} e^{C} + 1}$

Etapa 4.12

Reordene $e^{t}$ e $e^{C}$ .

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} + 1}$

$P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$

$P = \frac{4 + 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} + 1}$

Etapa 5

Como $P$ é positivo na condição inicial $(0, 1)$ , considere apenas $P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$ para encontrar $C$ . Substitua $0$ por $t$ e $1$ por $P$ .

$1 = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{0})}{e^{C} e^{0} - 1}$

Etapa 6

Resolva $C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Reescreva a equação como $- \frac{4 - 3 e^{C} e^{0}}{e^{C} e^{0} - 1} = 1$ .

$- \frac{4 - 3 e^{C} e^{0}}{e^{C} e^{0} - 1} = 1$

Etapa 6.2

Multiplique os dois lados por $e^{C} e^{0} - 1$ .

$- \frac{4 - 3 e^{C} e^{0}}{e^{C} e^{0} - 1} (e^{C} e^{0} - 1) = 1 (e^{C} e^{0} - 1)$

Etapa 6.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1

Simplifique $- \frac{4 - 3 e^{C} e^{0}}{e^{C} e^{0} - 1} (e^{C} e^{0} - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1.1

Cancele o fator comum de $e^{C} e^{0} - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{4 - 3 e^{C} e^{0}}{e^{C} e^{0} - 1}$ para o numerador.

$\frac{- (4 - 3 e^{C} e^{0})}{e^{C} e^{0} - 1} (e^{C} e^{0} - 1) = 1 (e^{C} e^{0} - 1)$

Etapa 6.3.1.1.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- (4 - 3 e^{C} e^{0})}{e^{C} e^{0} - 1} (e^{C} e^{0} - 1) = 1 (e^{C} e^{0} - 1)$

Etapa 6.3.1.1.1.3

Reescreva a expressão.

$- (4 - 3 e^{C} e^{0}) = 1 (e^{C} e^{0} - 1)$

Etapa 6.3.1.1.2

Multiplique $e^{C}$ por $e^{0}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1.2.1

Mova $e^{0}$ .

$- (4 - 3 (e^{0} e^{C})) = 1 (e^{C} e^{0} - 1)$

Etapa 6.3.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- (4 - 3 e^{0 + C}) = 1 (e^{C} e^{0} - 1)$

Etapa 6.3.1.1.2.3

Some $0$ e $C$ .

$- (4 - 3 e^{C}) = 1 (e^{C} e^{0} - 1)$

Etapa 6.3.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- 1 \cdot 4 - (- 3 e^{C}) = 1 (e^{C} e^{0} - 1)$

Etapa 6.3.1.1.4

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- 4 - (- 3 e^{C}) = 1 (e^{C} e^{0} - 1)$

Etapa 6.3.1.1.4.2

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$- 4 + 3 e^{C} = 1 (e^{C} e^{0} - 1)$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Simplifique $1 (e^{C} e^{0} - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1

Multiplique $e^{C} e^{0} - 1$ por $1$ .

$- 4 + 3 e^{C} = e^{C} e^{0} - 1$

Etapa 6.3.2.1.2

Multiplique $e^{C}$ por $e^{0}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 4 + 3 e^{C} = e^{C + 0} - 1$

Etapa 6.3.2.1.2.2

Some $C$ e $0$ .

$- 4 + 3 e^{C} = e^{C} - 1$

Etapa 6.4

Resolva $C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Mova todos os termos que contêm $C$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1.1

Subtraia $e^{C}$ dos dois lados da equação.

$- 4 + 3 e^{C} - e^{C} = - 1$

Etapa 6.4.1.2

Subtraia $e^{C}$ de $3 e^{C}$ .

$- 4 + 2 e^{C} = - 1$

Etapa 6.4.2

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$2 e^{C} = - 1 + 4$

Etapa 6.4.2.2

Some $- 1$ e $4$ .

$2 e^{C} = 3$

Etapa 6.4.3

Divida cada termo em $2 e^{C} = 3$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.1

Divida cada termo em $2 e^{C} = 3$ por $2$ .

$\frac{2 e^{C}}{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 6.4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 e^{C}}{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 6.4.3.2.1.2

Divida $e^{C}$ por $1$ .

$e^{C} = \frac{3}{2}$

Etapa 6.4.4

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{C}) = \ln (\frac{3}{2})$

Etapa 6.4.5

Expanda o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.5.1

Expanda $\ln (e^{C})$ movendo $C$ para fora do logaritmo.

$C \ln (e) = \ln (\frac{3}{2})$

Etapa 6.4.5.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$C \cdot 1 = \ln (\frac{3}{2})$

Etapa 6.4.5.3

Multiplique $C$ por $1$ .

$C = \ln (\frac{3}{2})$

Etapa 7

Substitua $\ln (\frac{3}{2})$ por $C$ em $P = - \frac{4 - 3 (e^{C} e^{t})}{e^{C} e^{t} - 1}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua $\ln (\frac{3}{2})$ por $C$ .

$P = - \frac{4 - 3 (e^{\ln (\frac{3}{2})} e^{t})}{e^{\ln (\frac{3}{2})} e^{t} - 1}$

Etapa 7.2

Multiplique $e^{\ln (\frac{3}{2})}$ por $e^{t}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Mova $e^{t}$ .

$P = - \frac{4 - 3 (e^{t} e^{\ln (\frac{3}{2})})}{e^{\ln (\frac{3}{2})} e^{t} - 1}$

Etapa 7.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$P = - \frac{4 - 3 e^{t + \ln (\frac{3}{2})}}{e^{\ln (\frac{3}{2})} e^{t} - 1}$

Etapa 7.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$P = - \frac{4 - 3 e^{t + \ln (\frac{3}{2})}}{e^{\ln (\frac{3}{2}) + t} - 1}$