Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d t} = - 2 t y + 4 e^{- t^{2}}$ , $y (0) = 3$

Etapa 1

Some $2 t y$ aos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d t} + 2 t y = 4 e^{- t^{2}}$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (t) d t}$ , em que $P (t) = 2 t$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int 2 t d t}$

Etapa 2.2

Integre $2 t$ .

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante com relação a $t$ , mova $2$ para fora da integral.

$e^{2 \int t d t}$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t$ com relação a $t$ é $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$e^{2 (\frac{1}{2} t^{2} + C)}$

Etapa 2.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.2.3.1

Reescreva $2 (\frac{1}{2} t^{2} + C)$ como $2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C$ .

$e^{2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C}$

Etapa 2.2.3.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.3.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{2}{2} t^{2} + C}$

Etapa 2.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$e^{\frac{2}{2} t^{2} + C}$

Etapa 2.2.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{1 t^{2} + C}$

Etapa 2.2.3.2.3

Multiplique $t^{2}$ por $1$ .

$e^{t^{2} + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{t^{2}}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{t^{2}}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $e^{t^{2}}$ .

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + e^{t^{2}} (2 t y) = e^{t^{2}} (4 e^{- t^{2}})$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = e^{t^{2}} (4 e^{- t^{2}})$

Etapa 3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4 e^{t^{2}} e^{- t^{2}}$

Etapa 3.4

Multiplique $e^{t^{2}}$ por $e^{- t^{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.1

Mova $e^{- t^{2}}$ .

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4 (e^{- t^{2}} e^{t^{2}})$

Etapa 3.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4 e^{- t^{2} + t^{2}}$

Etapa 3.4.3

Some $- t^{2}$ e $t^{2}$ .

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4 e^{0}$

Etapa 3.5

Simplifique $4 e^{0}$ .

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4$

Etapa 3.6

Reordene os fatores em $e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4$ .

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 t y e^{t^{2}} = 4$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d t} [e^{t^{2}} y] = 4$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d t} [e^{t^{2}} y] d t = \int 4 d t$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$e^{t^{2}} y = \int 4 d t$

Etapa 7

Aplique a regra da constante.

$e^{t^{2}} y = 4 t + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $e^{t^{2}} y = 4 t + C$ por $e^{t^{2}}$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $e^{t^{2}} y = 4 t + C$ por $e^{t^{2}}$ .

$\frac{e^{t^{2}} y}{e^{t^{2}}} = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $e^{t^{2}}$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{t^{2}} y}{e^{t^{2}}} = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$

Etapa 9

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $0$ por $t$ e $3$ por $y$ em $y = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$ .

$3 = \frac{4 \cdot 0}{e^{0^{2}}} + \frac{C}{e^{0^{2}}}$

Etapa 10

Resolva $C$ .

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Etapa 10.1

Reescreva a equação como $\frac{4 \cdot 0}{e^{0^{2}}} + \frac{C}{e^{0^{2}}} = 3$ .

$\frac{4 \cdot 0}{e^{0^{2}}} + \frac{C}{e^{0^{2}}} = 3$

Etapa 10.2

Simplifique $\frac{4 \cdot 0}{e^{0^{2}}} + \frac{C}{e^{0^{2}}}$ .

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Etapa 10.2.1

Combine frações.

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Etapa 10.2.1.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 \cdot 0 + C}{e^{0^{2}}} = 3$

Etapa 10.2.1.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 10.2.1.2.1

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{0 + C}{e^{0^{2}}} = 3$

Etapa 10.2.1.2.2

Some $0$ e $C$ .

$\frac{C}{e^{0^{2}}} = 3$

Etapa 10.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 10.2.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{C}{e^{0}} = 3$

Etapa 10.2.2.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{C}{1} = 3$

Etapa 10.2.3

Divida $C$ por $1$ .

$C = 3$

Etapa 11

Substitua $3$ por $C$ em $y = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$ e simplifique.

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Etapa 11.1

Substitua $3$ por $C$ .

$y = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{3}{e^{t^{2}}}$