Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y}$ , $y (4) = 3$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{x}{y})$

Etapa 1.2

Simplifique.

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Etapa 1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{x}{y}$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.2.2.1

Fatore $y$ de $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x}{y}$

Etapa 1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x}{y}$

Etapa 1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y \frac{d y}{d x} = - x$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$y d y = - x d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y d y = \int - x d x$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Etapa 2.3.3

Reescreva $- (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $- \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique $2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + K)$

Etapa 3.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.2.1.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{x^{2}}{2}$ para o numerador.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 K$

Etapa 3.2.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$y^{2} = - x^{2} + 2 K$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

Etapa 3.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

Etapa 3.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

Etapa 3.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \sqrt{- x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + K}$

Etapa 5

Como $y$ é positivo na condição inicial $(4, 3)$ , considere apenas $y = \sqrt{- x^{2} + K}$ para encontrar $K$ . Substitua $4$ por $x$ e $3$ por $y$ .

$3 = \sqrt{- 4^{2} + K}$

Etapa 6

Resolva $K$ .

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Etapa 6.1

Reescreva a equação como $\sqrt{- 4^{2} + K} = 3$ .

$\sqrt{- 4^{2} + K} = 3$

Etapa 6.2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{- 4^{2} + K}}^{2} = 3^{2}$

Etapa 6.3

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 6.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{- 4^{2} + K}$ como ${(- 4^{2} + K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- 4^{2} + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 3^{2}$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.2.1

Simplifique ${({(- 4^{2} + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 6.3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(- 4^{2} + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 6.3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 4^{2} + K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^{2}$

Etapa 6.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(- 4^{2} + K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^{2}$

Etapa 6.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(- 4^{2} + K)}^{1} = 3^{2}$

Etapa 6.3.2.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.3.2.1.2.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

${(- 1 \cdot 16 + K)}^{1} = 3^{2}$

Etapa 6.3.2.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $16$ .

${(- 16 + K)}^{1} = 3^{2}$

Etapa 6.3.2.1.3

Simplifique.

$- 16 + K = 3^{2}$

Etapa 6.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.3.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$- 16 + K = 9$

Etapa 6.4

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

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Etapa 6.4.1

Some $16$ aos dois lados da equação.

$K = 9 + 16$

Etapa 6.4.2

Some $9$ e $16$ .

$K = 25$

Etapa 7

Substitua $25$ por $K$ em $y = \sqrt{- x^{2} + K}$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Substitua $25$ por $K$ .

$y = \sqrt{- x^{2} + 25}$

Etapa 7.2

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$y = \sqrt{- x^{2} + 5^{2}}$

Etapa 7.3

Reordene $- x^{2}$ e $5^{2}$ .

$y = \sqrt{5^{2} - x^{2}}$

Etapa 7.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 5$ e $b = x$ .

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$