Cálculo Exemplos

$\frac{d s}{d t} = 28 {(7 t^{2} - 5)}^{3}$ , $s (1) = 5$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d s = 28 {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d s = \int 28 {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$s + C_{1} = \int 28 {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $28$ é constante com relação a $t$ , mova $28$ para fora da integral.

$s + C_{1} = 28 \int {(7 t^{2} - 5)}^{3} d t$

Etapa 2.3.2

Expanda ${(7 t^{2} - 5)}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Use o teorema binomial.

$s + C_{1} = 28 \int {(7 t^{2})}^{3} + 3 {(7 t^{2})}^{2} \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} d t$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva a exponenciação como um produto.

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} {(7 t^{2})}^{2} + 3 {(7 t^{2})}^{2} \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} d t$

Etapa 2.3.2.3

Reescreva a exponenciação como um produto.

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 t^{2} (7 t^{2})) + 3 {(7 t^{2})}^{2} \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} d t$

Etapa 2.3.2.4

Reescreva a exponenciação como um produto.

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 t^{2} (7 t^{2})) + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) {(- 5)}^{2} + {(- 5)}^{3} d t$

Etapa 2.3.2.5

Reescreva a exponenciação como um produto.

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 t^{2} (7 t^{2})) + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) + {(- 5)}^{3} d t$

Etapa 2.3.2.6

Reescreva a exponenciação como um produto.

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 t^{2} (7 t^{2})) + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 {(- 5)}^{2} d t$

Etapa 2.3.2.7

Reescreva a exponenciação como um produto.

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 t^{2} (7 t^{2})) + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

Etapa 2.3.2.8

Mova $t^{2}$ .

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 \cdot 7 t^{2} t^{2}) + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

Etapa 2.3.2.9

Mova os parênteses.

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 \cdot 7 t^{2}) t^{2} + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

Etapa 2.3.2.10

Mova os parênteses.

$s + C_{1} = 28 \int 7 t^{2} (7 \cdot 7) t^{2} t^{2} + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

Etapa 2.3.2.11

Mova $t^{2}$ .

$s + C_{1} = 28 \int 7 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 (7 t^{2} (7 t^{2})) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

Etapa 2.3.2.12

Mova $t^{2}$ .

$s + C_{1} = 28 \int 7 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 (7 \cdot 7 t^{2} t^{2}) \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

Etapa 2.3.2.13

Mova os parênteses.

$s + C_{1} = 28 \int 7 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 (7 \cdot 7 t^{2}) t^{2} \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

Etapa 2.3.2.14

Mova os parênteses.

$s + C_{1} = 28 \int 7 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 (7 \cdot 7) t^{2} t^{2} \cdot - 5 + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

Etapa 2.3.2.15

Mova $t^{2}$ .

$s + C_{1} = 28 \int 7 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} \cdot - 5 t^{2} + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

Etapa 2.3.2.16

Mova $t^{2}$ .

$s + C_{1} = 28 \int 7 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 (7 t^{2}) (- 5 \cdot - 5) - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

Etapa 2.3.2.17

Mova $t^{2}$ .

$s + C_{1} = 28 \int 7 \cdot 7 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 (- 5 \cdot - 5) d t$

Etapa 2.3.2.18

Multiplique $7$ por $7$ .

$s + C_{1} = 28 \int 49 \cdot 7 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Etapa 2.3.2.19

Multiplique $49$ por $7$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{2} t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Etapa 2.3.2.20

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{2 + 2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Etapa 2.3.2.21

Some $2$ e $2$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{4} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Etapa 2.3.2.22

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{4 + 2} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Etapa 2.3.2.23

Some $4$ e $2$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} + 3 \cdot 7 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Etapa 2.3.2.24

Multiplique $3$ por $7$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} + 21 \cdot 7 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Etapa 2.3.2.25

Multiplique $21$ por $7$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} + 147 \cdot - 5 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Etapa 2.3.2.26

Multiplique $147$ por $- 5$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{2} t^{2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Etapa 2.3.2.27

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{2 + 2} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Etapa 2.3.2.28

Some $2$ e $2$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{4} + 3 \cdot 7 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Etapa 2.3.2.29

Multiplique $3$ por $7$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{4} + 21 \cdot - 5 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Etapa 2.3.2.30

Multiplique $21$ por $- 5$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{4} - 105 \cdot - 5 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Etapa 2.3.2.31

Multiplique $- 105$ por $- 5$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{4} + 525 t^{2} - 5 \cdot - 5 \cdot - 5 d t$

Etapa 2.3.2.32

Multiplique $- 5$ por $- 5$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{4} + 525 t^{2} + 25 \cdot - 5 d t$

Etapa 2.3.2.33

Multiplique $25$ por $- 5$ .

$s + C_{1} = 28 \int 343 t^{6} - 735 t^{4} + 525 t^{2} - 125 d t$

Etapa 2.3.3

Divida a integral única em várias integrais.

$s + C_{1} = 28 (\int 343 t^{6} d t + \int - 735 t^{4} d t + \int 525 t^{2} d t + \int - 125 d t)$

Etapa 2.3.4

Como $343$ é constante com relação a $t$ , mova $343$ para fora da integral.

$s + C_{1} = 28 (343 \int t^{6} d t + \int - 735 t^{4} d t + \int 525 t^{2} d t + \int - 125 d t)$

Etapa 2.3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t^{6}$ com relação a $t$ é $\frac{1}{7} t^{7}$ .

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{1}{7} t^{7} + C_{2}) + \int - 735 t^{4} d t + \int 525 t^{2} d t + \int - 125 d t)$

Etapa 2.3.6

Como $- 735$ é constante com relação a $t$ , mova $- 735$ para fora da integral.

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{1}{7} t^{7} + C_{2}) - 735 \int t^{4} d t + \int 525 t^{2} d t + \int - 125 d t)$

Etapa 2.3.7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t^{4}$ com relação a $t$ é $\frac{1}{5} t^{5}$ .

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{1}{7} t^{7} + C_{2}) - 735 (\frac{1}{5} t^{5} + C_{3}) + \int 525 t^{2} d t + \int - 125 d t)$

Etapa 2.3.8

Como $525$ é constante com relação a $t$ , mova $525$ para fora da integral.

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{1}{7} t^{7} + C_{2}) - 735 (\frac{1}{5} t^{5} + C_{3}) + 525 \int t^{2} d t + \int - 125 d t)$

Etapa 2.3.9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t^{2}$ com relação a $t$ é $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{1}{7} t^{7} + C_{2}) - 735 (\frac{1}{5} t^{5} + C_{3}) + 525 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{4}) + \int - 125 d t)$

Etapa 2.3.10

Aplique a regra da constante.

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{1}{7} t^{7} + C_{2}) - 735 (\frac{1}{5} t^{5} + C_{3}) + 525 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{4}) - 125 t + C_{5})$

Etapa 2.3.11

Simplifique.

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Etapa 2.3.11.1

Simplifique.

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Etapa 2.3.11.1.1

Combine $\frac{1}{7}$ e $t^{7}$ .

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{t^{7}}{7} + C_{2}) - 735 (\frac{1}{5} t^{5} + C_{3}) + 525 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{4}) - 125 t + C_{5})$

Etapa 2.3.11.1.2

Combine $\frac{1}{5}$ e $t^{5}$ .

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{t^{7}}{7} + C_{2}) - 735 (\frac{t^{5}}{5} + C_{3}) + 525 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{4}) - 125 t + C_{5})$

Etapa 2.3.11.1.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $t^{3}$ .

$s + C_{1} = 28 (343 (\frac{t^{7}}{7} + C_{2}) - 735 (\frac{t^{5}}{5} + C_{3}) + 525 (\frac{t^{3}}{3} + C_{4}) - 125 t + C_{5})$

Etapa 2.3.11.2

Simplifique.

$s + C_{1} = 28 (49 t^{7} - 147 t^{5} + 175 t^{3} - 125 t) + C_{6}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$s = 28 (49 t^{7} - 147 t^{5} + 175 t^{3} - 125 t) + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $1$ por $t$ e $5$ por $s$ em $s = 28 (49 t^{7} - 147 t^{5} + 175 t^{3} - 125 t) + K$ .

$5 = 28 (49 \cdot 1^{7} - 147 \cdot 1^{5} + 175 \cdot 1^{3} - 125 \cdot 1) + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $28 (49 \cdot 1^{7} - 147 \cdot 1^{5} + 175 \cdot 1^{3} - 125 \cdot 1) + K = 5$ .

$28 (49 \cdot 1^{7} - 147 \cdot 1^{5} + 175 \cdot 1^{3} - 125 \cdot 1) + K = 5$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$28 (49 \cdot 1 - 147 \cdot 1^{5} + 175 \cdot 1^{3} - 125 \cdot 1) + K = 5$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $49$ por $1$ .

$28 (49 - 147 \cdot 1^{5} + 175 \cdot 1^{3} - 125 \cdot 1) + K = 5$

Etapa 4.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$28 (49 - 147 \cdot 1 + 175 \cdot 1^{3} - 125 \cdot 1) + K = 5$

Etapa 4.2.1.4

Multiplique $- 147$ por $1$ .

$28 (49 - 147 + 175 \cdot 1^{3} - 125 \cdot 1) + K = 5$

Etapa 4.2.1.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$28 (49 - 147 + 175 \cdot 1 - 125 \cdot 1) + K = 5$

Etapa 4.2.1.6

Multiplique $175$ por $1$ .

$28 (49 - 147 + 175 - 125 \cdot 1) + K = 5$

Etapa 4.2.1.7

Multiplique $- 125$ por $1$ .

$28 (49 - 147 + 175 - 125) + K = 5$

Etapa 4.2.2

Subtraia $147$ de $49$ .

$28 (- 98 + 175 - 125) + K = 5$

Etapa 4.2.3

Some $- 98$ e $175$ .

$28 (77 - 125) + K = 5$

Etapa 4.2.4

Subtraia $125$ de $77$ .

$28 \cdot - 48 + K = 5$

Etapa 4.2.5

Multiplique $28$ por $- 48$ .

$- 1344 + K = 5$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.3.1

Some $1344$ aos dois lados da equação.

$K = 5 + 1344$

Etapa 4.3.2

Some $5$ e $1344$ .

$K = 1349$

Etapa 5

Substitua $1349$ por $K$ em $s = 28 (49 t^{7} - 147 t^{5} + 175 t^{3} - 125 t) + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $1349$ por $K$ .

$s = 28 (49 t^{7} - 147 t^{5} + 175 t^{3} - 125 t) + 1349$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$s = 28 (49 t^{7}) + 28 (- 147 t^{5}) + 28 (175 t^{3}) + 28 (- 125 t) + 1349$

Etapa 5.2.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.2.1

Multiplique $49$ por $28$ .

$s = 1372 t^{7} + 28 (- 147 t^{5}) + 28 (175 t^{3}) + 28 (- 125 t) + 1349$

Etapa 5.2.2.2

Multiplique $- 147$ por $28$ .

$s = 1372 t^{7} - 4116 t^{5} + 28 (175 t^{3}) + 28 (- 125 t) + 1349$

Etapa 5.2.2.3

Multiplique $175$ por $28$ .

$s = 1372 t^{7} - 4116 t^{5} + 4900 t^{3} + 28 (- 125 t) + 1349$

Etapa 5.2.2.4

Multiplique $- 125$ por $28$ .

$s = 1372 t^{7} - 4116 t^{5} + 4900 t^{3} - 3500 t + 1349$