Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 y + 1}{7 x + 1}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{5 y + 1}$ .

$\frac{1}{5 y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{5 y + 1} \cdot \frac{5 y + 1}{7 x + 1}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $5 y + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{5 y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{5 y + 1} \cdot \frac{5 y + 1}{7 x + 1}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{5 y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{7 x + 1}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{5 y + 1} d y = \frac{1}{7 x + 1} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{5 y + 1} d y = \int \frac{1}{7 x + 1} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Deixe $u_{1} = 5 y + 1$ . Depois, $d u_{1} = 5 d y$ , então, $\frac{1}{5} d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Deixe $u_{1} = 5 y + 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $5 y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [5 y + 1]$

Etapa 2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 y + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [5 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 2.2.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [5 y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.3.1

Como $5$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $5 y$ em relação a $y$ é $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$5 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 2.2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 2.2.1.1.3.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$5 + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 2.2.1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$5 + 0$

Etapa 2.2.1.1.4.2

Some $5$ e $0$ .

$5$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{5} d u_{1} = \int \frac{1}{7 x + 1} d x$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Multiplique $\frac{1}{u_{1}}$ por $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 5} d u_{1} = \int \frac{1}{7 x + 1} d x$

Etapa 2.2.2.2

Mova $5$ para a esquerda de $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{5 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{7 x + 1} d x$

Etapa 2.2.3

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$\frac{1}{5} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{7 x + 1} d x$

Etapa 2.2.4

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{5} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{1}{7 x + 1} d x$

Etapa 2.2.5

Simplifique.

$\frac{1}{5} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{7 x + 1} d x$

Etapa 2.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $5 y + 1$ .

$\frac{1}{5} \ln (| 5 y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{7 x + 1} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Deixe $u_{2} = 7 x + 1$ . Depois, $d u_{2} = 7 d x$ , então, $\frac{1}{7} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Deixe $u_{2} = 7 x + 1$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $7 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [7 x + 1]$

Etapa 2.3.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.3.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.1.1.3.3

Multiplique $7$ por $1$ .

$7 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$7 + 0$

Etapa 2.3.1.1.4.2

Some $7$ e $0$ .

$7$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{5} \ln (| 5 y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{7} d u_{2}$

Etapa 2.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{7}$ .

$\frac{1}{5} \ln (| 5 y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 7} d u_{2}$

Etapa 2.3.2.2

Mova $7$ para a esquerda de $u_{2}$ .

$\frac{1}{5} \ln (| 5 y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{7 u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.3

Como $\frac{1}{7}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{7}$ para fora da integral.

$\frac{1}{5} \ln (| 5 y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{7} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 2.3.4

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{5} \ln (| 5 y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{7} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

$\frac{1}{5} \ln (| 5 y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{7} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Etapa 2.3.6

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $7 x + 1$ .

$\frac{1}{5} \ln (| 5 y + 1 |) + C_{1} = \frac{1}{7} \ln (| 7 x + 1 |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{5} \ln (| 5 y + 1 |) = \frac{1}{7} \ln (| 7 x + 1 |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $5$ .

$5 (\frac{1}{5} \ln (| 5 y + 1 |)) = 5 (\frac{1}{7} \ln (| 7 x + 1 |) + C)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Simplifique $5 (\frac{1}{5} \ln (| 5 y + 1 |))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{5}$ e $\ln (| 5 y + 1 |)$ .

$5 \frac{\ln (| 5 y + 1 |)}{5} = 5 (\frac{1}{7} \ln (| 7 x + 1 |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$5 \frac{\ln (| 5 y + 1 |)}{5} = 5 (\frac{1}{7} \ln (| 7 x + 1 |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| 5 y + 1 |) = 5 (\frac{1}{7} \ln (| 7 x + 1 |) + C)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique $5 (\frac{1}{7} \ln (| 7 x + 1 |) + C)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Combine $\frac{1}{7}$ e $\ln (| 7 x + 1 |)$ .

$\ln (| 5 y + 1 |) = 5 (\frac{\ln (| 7 x + 1 |)}{7} + C)$

Etapa 3.2.2.1.2

Para escrever $C$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{7}{7}$ .

$\ln (| 5 y + 1 |) = 5 (\frac{\ln (| 7 x + 1 |)}{7} + C \cdot \frac{7}{7})$

Etapa 3.2.2.1.3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.3.1

Combine $C$ e $\frac{7}{7}$ .

$\ln (| 5 y + 1 |) = 5 (\frac{\ln (| 7 x + 1 |)}{7} + \frac{C \cdot 7}{7})$

Etapa 3.2.2.1.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\ln (| 5 y + 1 |) = 5 \frac{\ln (| 7 x + 1 |) + C \cdot 7}{7}$

Etapa 3.2.2.1.4

Mova $7$ para a esquerda de $C$ .

$\ln (| 5 y + 1 |) = 5 \frac{\ln (| 7 x + 1 |) + 7 C}{7}$

Etapa 3.2.2.1.5

Combine $5$ e $\frac{\ln (| 7 x + 1 |) + 7 C}{7}$ .

$\ln (| 5 y + 1 |) = \frac{5 (\ln (| 7 x + 1 |) + 7 C)}{7}$

Etapa 3.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| 5 y + 1 |)} = e^{\frac{5 (\ln (| 7 x + 1 |) + 7 C)}{7}}$

Etapa 3.4

Reescreva $\ln (| 5 y + 1 |) = \frac{5 (\ln (| 7 x + 1 |) + 7 C)}{7}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{5 (\ln (| 7 x + 1 |) + 7 C)}{7}} = | 5 y + 1 |$

Etapa 3.5

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Reescreva a equação como $| 5 y + 1 | = e^{\frac{5 (\ln (| 7 x + 1 |) + 7 C)}{7}}$ .

$| 5 y + 1 | = e^{\frac{5 (\ln (| 7 x + 1 |) + 7 C)}{7}}$

Etapa 3.5.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$5 y + 1 = \pm e^{\frac{5 (\ln (| 7 x + 1 |) + 7 C)}{7}}$

Etapa 3.5.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$5 y = \pm e^{\frac{5 (\ln (| 7 x + 1 |) + 7 C)}{7}} - 1$

Etapa 3.5.4

Divida cada termo em $5 y = \pm e^{\frac{5 (\ln (| 7 x + 1 |) + 7 C)}{7}} - 1$ por $5$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.1

Divida cada termo em $5 y = \pm e^{\frac{5 (\ln (| 7 x + 1 |) + 7 C)}{7}} - 1$ por $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{\pm e^{\frac{5 (\ln (| 7 x + 1 |) + 7 C)}{7}}}{5} + \frac{- 1}{5}$

Etapa 3.5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 y}{5} = \frac{\pm e^{\frac{5 (\ln (| 7 x + 1 |) + 7 C)}{7}}}{5} + \frac{- 1}{5}$

Etapa 3.5.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{5 (\ln (| 7 x + 1 |) + 7 C)}{7}}}{5} + \frac{- 1}{5}$

Etapa 3.5.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{\pm e^{\frac{5 (\ln (| 7 x + 1 |) + 7 C)}{7}}}{5} - \frac{1}{5}$

Etapa 3.5.4.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\pm e^{\frac{5 (\ln (| 7 x + 1 |) + 7 C)}{7}} - 1}{5}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\pm e^{\frac{5 (\ln (| 7 x + 1 |) + C)}{7}} - 1}{5}$