Cálculo Exemplos

$x \frac{d y}{d x} - 4 y = 5 x^{4} e^{x}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} - 4 y = 5 x^{4} e^{x}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{5 x^{4} e^{x}}{x}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{5 x^{4} e^{x}}{x}$

Etapa 1.2.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{5 x^{4} e^{x}}{x}$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $x^{4}$ e $x$ .

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Etapa 1.3.1

Fatore $x$ de $5 x^{4} e^{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{x (5 x^{3} e^{x})}{x}$

Etapa 1.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{x (5 x^{3} e^{x})}{x^{1}}$

Etapa 1.3.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{x (5 x^{3} e^{x})}{x \cdot 1}$

Etapa 1.3.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{x (5 x^{3} e^{x})}{x \cdot 1}$

Etapa 1.3.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = \frac{5 x^{3} e^{x}}{1}$

Etapa 1.3.2.5

Divida $5 x^{3} e^{x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4 y}{x} = 5 x^{3} e^{x}$

Etapa 1.4

Fatore $y$ de $\frac{- 4 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 4}{x} = 5 x^{3} e^{x}$

Etapa 1.5

Reordene $y$ e $\frac{- 4}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 4}{x} y = 5 x^{3} e^{x}$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{- 4}{x}$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{- 4}{x} d x}$

Etapa 2.2

Integre $\frac{- 4}{x}$ .

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Etapa 2.2.1

Divida a fração em diversas frações.

$e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

Etapa 2.2.2

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

Etapa 2.2.3

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

Etapa 2.2.4

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 2.2.5

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 2.2.6

Simplifique.

$e^{- 4 \ln (| x |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{- 4 \ln (x)}$

Etapa 2.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln (x^{- 4})}$

Etapa 2.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$x^{- 4}$

Etapa 2.6

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{4}}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $\frac{1}{x^{4}}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{1}{x^{4}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{4}} (\frac{- 4}{x} y) = \frac{1}{x^{4}} (5 x^{3} e^{x})$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Combine $\frac{1}{x^{4}}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} (\frac{- 4}{x} y) = \frac{1}{x^{4}} (5 x^{3} e^{x})$

Etapa 3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}} (- \frac{4}{x} y) = \frac{1}{x^{4}} (5 x^{3} e^{x})$

Etapa 3.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{1}{x^{4}} (\frac{4}{x} y) = \frac{1}{x^{4}} (5 x^{3} e^{x})$

Etapa 3.2.4

Combine $\frac{4}{x}$ e $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{4 y}{x} = \frac{1}{x^{4}} (5 x^{3} e^{x})$

Etapa 3.2.5

Multiplique $- \frac{1}{x^{4}} \cdot \frac{4 y}{x}$ .

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Etapa 3.2.5.1

Multiplique $\frac{4 y}{x}$ por $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x \cdot x^{4}} = \frac{1}{x^{4}} (5 x^{3} e^{x})$

Etapa 3.2.5.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.5.2.1

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

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Etapa 3.2.5.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{1} x^{4}} = \frac{1}{x^{4}} (5 x^{3} e^{x})$

Etapa 3.2.5.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{1 + 4}} = \frac{1}{x^{4}} (5 x^{3} e^{x})$

Etapa 3.2.5.2.2

Some $1$ e $4$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = \frac{1}{x^{4}} (5 x^{3} e^{x})$

Etapa 3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = 5 \frac{1}{x^{4}} (x^{3} e^{x})$

Etapa 3.4

Combine $5$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = \frac{5}{x^{4}} (x^{3} e^{x})$

Etapa 3.5

Cancele o fator comum de $x^{3}$ .

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Etapa 3.5.1

Fatore $x^{3}$ de $x^{4}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = \frac{5}{x^{3} x} (x^{3} e^{x})$

Etapa 3.5.2

Fatore $x^{3}$ de $x^{3} e^{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = \frac{5}{x^{3} x} (x^{3} (e^{x}))$

Etapa 3.5.3

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = \frac{5}{x^{3} x} (x^{3} e^{x})$

Etapa 3.5.4

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = \frac{5}{x} e^{x}$

Etapa 3.6

Combine $\frac{5}{x}$ e $e^{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{4}} - \frac{4 y}{x^{5}} = \frac{5 e^{x}}{x}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} y] = \frac{5 e^{x}}{x}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}} y] d x = \int \frac{5 e^{x}}{x} d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$\frac{1}{x^{4}} y = \int \frac{5 e^{x}}{x} d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$\frac{1}{x^{4}} y = 5 \int \frac{e^{x}}{x} d x$

Etapa 7.2

$\int \frac{e^{x}}{x} d x$ é uma integral especial. A integral é a função integral exponencial.

$\frac{1}{x^{4}} y = 5 (E i (x) + C)$

Etapa 7.3

Simplifique.

$\frac{1}{x^{4}} y = 5 E i (x) + C$

Etapa 8

Resolva $y$ .

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Etapa 8.1

Combine $\frac{1}{x^{4}}$ e $y$ .

$\frac{y}{x^{4}} = 5 E i x + C$

Etapa 8.2

Multiplique os dois lados por $x^{4}$ .

$\frac{y}{x^{4}} x^{4} = (5 E i x + C) x^{4}$

Etapa 8.3

Simplifique.

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Etapa 8.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{4}$ .

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Etapa 8.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{x^{4}} x^{4} = (5 E i x + C) x^{4}$

Etapa 8.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y = (5 E i x + C) x^{4}$

Etapa 8.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.2.1

Simplifique $(5 E i x + C) x^{4}$ .

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Etapa 8.3.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = 5 E i x \cdot x^{4} + C x^{4}$

Etapa 8.3.2.1.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 8.3.2.1.2.1

Mova $x^{4}$ .

$y = 5 E i (x^{4} x) + C x^{4}$

Etapa 8.3.2.1.2.2

Multiplique $x^{4}$ por $x$ .

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Etapa 8.3.2.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y = 5 E i (x^{4} x^{1}) + C x^{4}$

Etapa 8.3.2.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = 5 E i x^{4 + 1} + C x^{4}$

Etapa 8.3.2.1.2.3

Some $4$ e $1$ .

$y = 5 E i x^{5} + C x^{4}$

Etapa 8.3.2.1.3

Mova $i$ .

$y = 5 E x^{5} i + C x^{4}$

Etapa 8.3.2.1.4

Mova $E$ .

$y = 5 x^{5} E i + C x^{4}$