Cálculo Exemplos

$x y \frac{d y}{d x} + 3 = 0$ , $f (2) = 1$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Resolva $\frac{d y}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x y \frac{d y}{d x} = - 3$

Etapa 1.1.2

Divida cada termo em $x y \frac{d y}{d x} = - 3$ por $x y$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Divida cada termo em $x y \frac{d y}{d x} = - 3$ por $x y$ .

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{- 3}{x y}$

Etapa 1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{- 3}{x y}$

Etapa 1.1.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 3}{x y}$

Etapa 1.1.2.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 3}{x y}$

Etapa 1.1.2.2.2.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 3}{x y}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3}{x y}$

Etapa 1.2

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3}{x} \cdot \frac{1}{y}$

Etapa 1.3

Multiplique os dois lados por $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{3}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y \frac{d y}{d x} = - y (\frac{3}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Etapa 1.4.2

Multiplique $\frac{3}{x}$ por $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{3}{x y}$

Etapa 1.4.3

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1

Fatore $y$ de $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{3}{x y}$

Etapa 1.4.3.2

Fatore $y$ de $x y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{3}{y x}$

Etapa 1.4.3.3

Cancele o fator comum.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{3}{y x}$

Etapa 1.4.3.4

Reescreva a expressão.

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{3}{x}$

Etapa 1.5

Reescreva a equação.

$y d y = - \frac{3}{x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y d y = \int - \frac{3}{x} d x$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{3}{x} d x$

Etapa 2.3.2

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (3 \int \frac{1}{x} d x)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3.4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 (\ln (| x |) + C_{2})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - 3 \ln (| x |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- 3 \ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- 3 \ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- 3 \ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} = 2 (- 3 \ln (| x |) + C)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique $2 (- 3 \ln (| x |) + C)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y^{2} = 2 (- 3 \ln (| x |)) + 2 C$

Etapa 3.2.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$y^{2} = - 6 \ln (| x |) + 2 C$

Etapa 3.3

Simplifique $- 6 \ln (| x |)$ movendo $6$ para dentro do logaritmo.

$y^{2} = - \ln ({| x |}^{6}) + 2 C$

Etapa 3.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{- \ln ({| x |}^{6}) + 2 C}$

Etapa 3.5

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{6}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$y = \pm \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

Etapa 3.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

Etapa 3.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

Etapa 3.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + C}$

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + C}$

Etapa 5

Como $y$ é positivo na condição inicial $(2, 1)$ , considere apenas $y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + C}$ para encontrar $C$ . Substitua $2$ por $x$ e $1$ por $y$ .

$1 = \sqrt{- \ln (2^{6}) + C}$

Etapa 6

Resolva $C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Reescreva a equação como $\sqrt{- \ln (2^{6}) + C} = 1$ .

$\sqrt{- \ln (2^{6}) + C} = 1$

Etapa 6.2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{- \ln (2^{6}) + C}}^{2} = 1^{2}$

Etapa 6.3

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{- \ln (2^{6}) + C}$ como ${(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Simplifique ${({(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Etapa 6.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Etapa 6.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(- \ln (2^{6}) + C)}^{1} = 1^{2}$

Etapa 6.3.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $6$ .

${(- \ln (64) + C)}^{1} = 1^{2}$

Etapa 6.3.2.1.3

Simplifique.

$- \ln (64) + C = 1^{2}$

Etapa 6.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \ln (64) + C = 1$

Etapa 6.4

Some $\ln (64)$ aos dois lados da equação.

$C = 1 + \ln (64)$

Etapa 7

Substitua $1 + \ln (64)$ por $C$ em $y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + C}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua $1 + \ln (64)$ por $C$ .

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 1 + \ln (64)}$