Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(y - 1)}^{2}}{x}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{{(y - 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y - 1)}^{2}}{x}$

Etapa 1.2

Simplifique.

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Etapa 1.2.1

Combine.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 {(y - 1)}^{2}}{{(y - 1)}^{2} x}$

Etapa 1.2.2

Cancele o fator comum de ${(y - 1)}^{2}$ .

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Etapa 1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 {(y - 1)}^{2}}{{(y - 1)}^{2} x}$

Etapa 1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} d y = \frac{1}{x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Deixe $u = y - 1$ . Depois, $d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = y - 1$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Etapa 2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 2.2.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 2.2.1.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 1$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.2.1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.2.2.1

Mova $u^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.2.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 2}$ com relação a $u$ é $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.4

Reescreva $- u^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{u} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{u} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y - 1$ .

$- \frac{1}{y - 1} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{y - 1} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \frac{1}{y - 1} = \ln (| x |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$y - 1, 1, 1$

Etapa 3.1.2

Remova os parênteses.

$y - 1, 1, 1$

Etapa 3.1.3

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$y - 1$

Etapa 3.2

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{y - 1} = \ln (| x |) + C$ por $y - 1$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.2.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{y - 1} = \ln (| x |) + C$ por $y - 1$ .

$- \frac{1}{y - 1} (y - 1) = \ln (| x |) (y - 1) + C (y - 1)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $y - 1$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{y - 1}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{y - 1} (y - 1) = \ln (| x |) (y - 1) + C (y - 1)$

Etapa 3.2.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{y - 1} (y - 1) = \ln (| x |) (y - 1) + C (y - 1)$

Etapa 3.2.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 1 = \ln (| x |) (y - 1) + C (y - 1)$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 1 = \ln (| x |) y + \ln (| x |) \cdot - 1 + C (y - 1)$

Etapa 3.2.3.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $\ln (| x |)$ .

$- 1 = \ln (| x |) y - 1 \cdot \ln (| x |) + C (y - 1)$

Etapa 3.2.3.1.3

Reescreva $- 1 \ln (| x |)$ como $- \ln (| x |)$ .

$- 1 = \ln (| x |) y - \ln (| x |) + C (y - 1)$

Etapa 3.2.3.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$- 1 = \ln (| x |) y - \ln (| x |) + C y + C \cdot - 1$

Etapa 3.2.3.1.5

Mova $- 1$ para a esquerda de $C$ .

$- 1 = \ln (| x |) y - \ln (| x |) + C y - 1 \cdot C$

Etapa 3.2.3.1.6

Reescreva $- 1 C$ como $- C$ .

$- 1 = \ln (| x |) y - \ln (| x |) + C y - C$

Etapa 3.2.3.2

Reordene os fatores em $\ln (| x |) y - \ln (| x |) + C y - C$ .

$- 1 = y \ln (| x |) - \ln (| x |) + C y - C$

Etapa 3.3

Resolva a equação.

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $y \ln (| x |) - \ln (| x |) + C y - C = - 1$ .

$y \ln (| x |) - \ln (| x |) + C y - C = - 1$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$y \ln (| x |) - \ln (| x |) = - C y + C - 1$

Etapa 3.3.3

Some $C y$ aos dois lados da equação.

$y \ln (| x |) - \ln (| x |) + C y = C - 1$

Etapa 3.3.4

Some $\ln (| x |)$ aos dois lados da equação.

$y \ln (| x |) + C y = C - 1 + \ln (| x |)$

Etapa 3.3.5

Fatore $y$ de $y \ln (| x |) + C y$ .

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Etapa 3.3.5.1

Fatore $y$ de $C y$ .

$y \ln (| x |) + y C = C - 1 + \ln (| x |)$

Etapa 3.3.5.2

Fatore $y$ de $y \ln (| x |) + y C$ .

$y (\ln (| x |) + C) = C - 1 + \ln (| x |)$

Etapa 3.3.6

Divida cada termo em $y (\ln (| x |) + C) = C - 1 + \ln (| x |)$ por $\ln (| x |) + C$ e simplifique.

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Etapa 3.3.6.1

Divida cada termo em $y (\ln (| x |) + C) = C - 1 + \ln (| x |)$ por $\ln (| x |) + C$ .

$\frac{y (\ln (| x |) + C)}{\ln (| x |) + C} = \frac{C}{\ln (| x |) + C} + \frac{- 1}{\ln (| x |) + C} + \frac{\ln (| x |)}{\ln (| x |) + C}$

Etapa 3.3.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.6.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (| x |) + C$ .

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Etapa 3.3.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (\ln (| x |) + C)}{\ln (| x |) + C} = \frac{C}{\ln (| x |) + C} + \frac{- 1}{\ln (| x |) + C} + \frac{\ln (| x |)}{\ln (| x |) + C}$

Etapa 3.3.6.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{C}{\ln (| x |) + C} + \frac{- 1}{\ln (| x |) + C} + \frac{\ln (| x |)}{\ln (| x |) + C}$

Etapa 3.3.6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.6.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{C}{\ln (| x |) + C} - \frac{1}{\ln (| x |) + C} + \frac{\ln (| x |)}{\ln (| x |) + C}$

Etapa 3.3.6.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{C - 1}{\ln (| x |) + C} + \frac{\ln (| x |)}{\ln (| x |) + C}$

Etapa 3.3.6.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{C - 1 + \ln (| x |)}{\ln (| x |) + C}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{C + \ln (| x |)}{\ln (| x |) + C}$